Сложение сил, приложенных в одной точке

Обычно на тело действуют одновременно несколько сил. Чтобы установить результат их действия, вводят понятие равнодействующей силы, т. е. такой силы, которая производит натело такое же действие, как и несколько одновременно действующих на него сил. Силы, заменяемые равнодействующей силой, называют составляющими. Нахождение равнодействующей нескольких сил называется сложением сил.

Рассмотрим случай, когда на тело действуют две силы, приложенные в одной точке и составляющие между собой угол, не равный 0 или p. Пусть через два неподвижных блока, закрепленных на вертикальной доске, перекинута нить, на концах которой подвешены слева четыре, а справа три одинаковых груза. Если к этой нити в точке O, расположенной между блоками, подвесить пять таких же грузов, система придет в равновесие.

Пусть вес каждого груза равен 1 Н. Следовательно, равновесие системы происходит под действием трех сил, приложенных в точке О, а именно F₁= 4 Н, F₂ = 3 Н и R' = 5 Н.

Выбрав масштаб (1 деление = 1 Н), изобразим эти силы векторами F₁, F₂ и R'. Построим на векторах сил F₁ и F₂, как на сторонах, параллелограмм и изобразим его диагональ вектором R. Измерим в том же масштабе длину этой диагонали (т. е. модуль вектора К). Оказывается, R = 5 Н. Таким образом, R = — R', т. е. сила R компенсирует (уравновешивает) силу R'. Но в то же время, как мы видели, сила R' компенсирует (уравновешивает) действие сил F₁ и F₂. Следовательно, сила R оказывает на систему в точке О такое же действие, как и силы F₁ и F₂, т. е. является их равнодействующей и представляет собой их векторную (геометрическую) сумму, т. е. R = F₁ + F₂.

Таким образом, равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке и действующих на тело под углом друг к другу, по модулю и направлению равна диагонали параллелограмма, построенного на векторах этих сил, как на сторонах. Модуль равнодействующей силы определяют по формуле

где F₁ и F₂ — модули составляющих сил, к — угол между этими силами.

Рассмотрим частные случаи.

а) Две силы, приложенные в одной точке, действуют по одной прямой в одну сторону (рис. 36). В этом случае а = 0 и из формулы (4.1) следует, что

б) Две силы, приложенные в одной точке, действуют по одной прямой в противоположных направлениях (рис. 37). В этом случае a = p , и из формулы (4.1) следует, что

.

Как мы видели в эксперименте, при равновесии тела (точки О) под действием сил F₁ , F₂ и R' имеют место соотношения R = — R' и R = F₁ + F₂, значит, F₁ + F₂ + R' = 0. Следовательно, тело (при отсутствии вращения) находится в равновесии в том случае, когда равнодействующая всех действующих на него сил (т. е. векторная сумма этих сил) равна нулю.

Разложение сил на составляющие

Замену одной силы двумя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила, называют разложением сил. Разложение сил производят также по правилу параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой известны) на две, приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, если известны:

1. направления обеих составляющих сил;
2. модуль и направление одной из составляющих сил;
3. модули обеих составляющих сил.

Разложение сил на составляющие широко используют в технике и в строительстве.

Сложение параллельных сил

Рассмотрим случай, когда на твердое тело действуют две параллельные силы F₁ и F₂, направленные в одну сторону и приложенные в точках A и B (рис. 38).

Для нахождения равнодействующей этих сил поступим следующим образом. В точках Л и В приложим равные по модулю и противоположные по направлению силы F (при этом равновесие тела не нарушается). Тогда в точке А под прямым углом друг к другу будут приложены силы F₁ и F, а в точке B — соответственно силы F₂ и F.

Найдем их равнодействующие. Очевидно, что R₁ = F₁ + F, а R₂ = F₂ + F. Как видно из рис. 38, R₁ и R₂ не параллельны друг другу.

В твердом теле точку приложения силы можно переносить вдоль линии действия этой силы. Линии действия сил R₁ и R₂ пересекаются в точке О. В эту точку мы и перенесем силы R₁R₂. Они окажутся приложенными в одной точке и их равнодействующую R можно найти по правилу параллелограмма, построенного на векторах сил R₁ и R₂, как на сторонах.

В то же время, если мы в точке О разложим силу R₁ на составляющие F₁ и F, а силу R₂ на составляющие F₂ и F, то обе составляющие F (равные по модулю и противоположные по направлению) будут взаимно компенсироваться, а силы F₁ и F₂ окажутся направленными по одной прямой в одну сторону. Следовательно, их равнодействующая R равна их сумме и направлена в ту же сторону. Ее модуль составляет R = F₁ + F₂.

Из точки О эту равнодействующую R перенесем вдоль линии ее действия в точку С. Расстояния между точками приложения сил F₁ и F₂ и их равнодействующей R равны |AC| = l₁ и |BС| = l₂.

Из рис. 38 видно, что D OR₁F₁ ~ D AOC. Поэтому , т.е. , следовательно, . (4.2)

Поскольку D OR₂F₂ ~ D OBC, имеем , т. е. . Следовательно, .     (4.3)

Из (4.2) и (4.3) имеем F₁l₁ = F₂l₂, т. е. l₂/l₁ = F₁/F₂.

Таким образом, равнодействующая двух параллельных, одинаково направленных сил параллельна им, равна их сумме и одинаково с ними направлена, а точка приложения этой равнодействующей делит расстояние между точками приложения составляющих на части, обратно пропорциональные силам.