Интервал

В теории относительности часто используется понятие события. Событие определяется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло. Таким образом, событие, произошедшее с некоторой материальной частицей, определяется тремя координатами этой частицы и моментом времени, когда это событие произошло: x, y, z и t.

В дальнейшем из соображений наглядности мы будем пользоваться воображаемым четырехмерныммировыми точками. Всякой частице соответствует некоторая линия — мировая линия в этом четырехмерном пространстве. Точки этой линии определяют координаты частицы во все моменты времени. Если частица покоится или движется равномерно и прямолинейно, то ей соответствует прямая мировая линия. пространством, на осях которого откладываются три пространственные координаты и время. В этом пространстве любое событие изображается точкой. Эти точки называются

Выразим теперь принцип инвариантности величины скорости света  ¹ математически. Для этого рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K^', движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью. Координатные оси выберем так, чтобы оси x и x' совпадали, а оси y и z были бы параллельны осям y' и z'. Время в системах K и K' обозначим через t и t'.

Пусть первое событие состоит в том, что из точки с координатами x₁, y₁, z₁ в момент времени t₁ (в системе отсчета K) отправляется сигнал, распространяющийся со скоростью света. Будем наблюдать из системы отсчета K за распространением этого сигнала. Пусть второе событие состоит в том, что этот сигнал приходит в точку x₂, y₂, z₂ в момент времени t₂. Поскольку сигнал распространяется со скоростью света c, пройденное им расстояние равно c(t₂–t₁). С другой стороны, это же расстояние равно . В результате оказывается справедливым следующее соотношение между координатами обоих событий в системе K

Те же два события, т.е. распространение светового сигнала, можно наблюдать из системы K'. Пусть координаты первого события в системе K': x₁', y₁', z₁', t₁', а второго: x₂', y₂', z₂', t₂'. Поскольку скорость света в системах K и K' одинакова, то аналогично (1) имеем:

Если x₁, y₁, z₁, t₁ и x₂, y₂, z₂, t₂ — координаты каких-либо двух событий, то величина

(3)

называется интервалом между этими двумя событиями.

Таким образом, из инвариантности скорости света следует, что

Геометрия Минковского

Если два события бесконечно близки друг другу, то для интервала ds между ними имеем

Форма выражений (3) и (4) позволяет рассматривать интервал, с формальной математической точки зрения, как "расстояние" между двумя точками в воображаемом четырехмерном пространстве (на осях которого откладываются значения x, y, z и произведение ct). Имеется, однако, существенное отличие в правиле составления этой величины по сравнению с правилами обычной евклидовой геометрии: при образовании квадрата интервала квадрат разности координат по временной оси входит со знаком плюс, а квадраты разностей пространственных координат — со знаком минус. Такую четырехмерную геометрию, определяемую квадратичной формой (4), называют псевдоевклидовой в отличие от обычной, евклидовой, геометрии. Эта геометрия в связи с теорией относительности была введена Г.Минковским.

Инвариантность интервала

Как мы показали выше, если ds = 0 в некоторой инерциальной системе отсчета, то ds' = 0 в любой другой инерциальной системе. Но ds и ds' — бесконечно малые величины одинакового порядка малости. Поэтому в общем случае из этих двух условий следует, что ds² и ds'  ² должны быть пропорциональны друг другу:

Коэффициент пропорциональности a может зависеть только от абсолютной величины относительной скорости V обеих инерциальных систем. Он не может зависеть от координат и времени, так как тогда различные точки пространства и моменты времени были бы неравноценны, что противоречит однородности пространства и времени. Он не может также зависеть от направления относительной скорости V, так как это противоречило бы изотропии пространства.

Рассмотрим три инерциальных системы отсчета K, K₁ и K₂. Пусть V₁ и V₂ — скорости движения систем K₁ и K₂ относительно системы K. Тогда имеем

На том же основании можно записать

где V₁₂ — абсолютная величина скорости движения системы K₂ относительно K₁.

Сравнивая эти соотношения друг с другом, получаем, что должно выполняться условие

(8)

Но скорость V₁₂ зависит не только от абсолютных величин векторов V₁ и V₂, но и от угла α между ними.  ² Между тем последний вообще не входит в левую часть соотношения (8). Поэтому это соотношение может выполняться, лишь если функция a(V) = const = 1.

Таким образом,

а из равенства бесконечно малых интервалов следует равенство также и конечных интервалов

Мы пришли, таким образом, к очень важному результату:

Времениподобный и пространственноподобный интервалы

Рассмотрим теперь два события с координатами x₁, y₁, z₁, t₁ и x₂, y₂, z₂, t₂ соответственно в некоторой системе отсчета K. Спрашивается, существует ли такая система отсчета K', в которой оба эти события происходили бы в одном и том же месте пространства. Введем обозначения

(11)

Тогда квадрат интервала между событиями в системе K равен

(12)

а в системе K':

(13)

Поскольку интервал — величина инвариантная, то

(14)

Мы хотим, чтобы в системе K' оба события произошли в одной точке, т.е. чтобы l₁₂' = 0. Тогда

(15)

Следовательно, система отсчета с требуемым свойством существует, если , т.е. если интервал между обоими событиями вещественный. Вещественные интервалы называют времениподобными.

Таким образом, если интервал между двумя событиями времениподобный, то существует такая система отсчета, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Время, которое пройдет между этими событиями в этой системе, равно

(16)

Если какие-нибудь два события происходят с одним и тем же телом, то интервал между ними всегда времениподобный. Действительно, путь, который тело проходит между обоими событиями, не может быть больше ct₁₂, так как скорость тела не может быть больше c. Поэтому всегда

Зададимся теперь вопросом, нельзя ли выбрать такую систему отсчета, в которой два события произошли бы в одно и то же время. По-прежнему мы можем записать, что . Мы хотим, чтобы t'₁₂ = 0; отсюда

(18)

Следовательно, такая система отсчета существует если интервал s₁₂ между двумя событиями мнимый. Мнимые интервалы называют пространственноподобными. Расстояние между точками, где произошли эти события в этой системе отсчета, равно

(19)

Абсолютно будущие, абсолютно прошедшие и абсолютно удаленные события

Возьмем какое-нибудь событие, пусть это будет событие O, в качестве начала отсчета времени и пространственных координат. По осям этой четырехмерной системы координат будем откладывать значения x, y, z и ct. Определим теперь, в каком отношении к этому событию O находятся все остальные события. Для наглядности мы ограничимся только одной пространственной координатой и временем, откладывая их на двух осях. Так прямолинейное и равномерное движение частицы, проходящей точку x = 0 в момент времени t = 0, будет изображаться прямой линией, проходящей через начало координат O и наклоненой к оси ct под углом, тангенс которого равен отношению скорости частицы к скорости света v/c. Поскольку наибольшая возможная скорость равна c, то наибольший угол, который может образовывать эта прямая с осью ct, очевидно, равен 45^°.

Рис. 1. Движение частицы (со скоростью v) и луча света (со скоростью c). tgα = v/c.

На рис.2 сплошной линией изображены две прямые ab и cd, изображающие распространение со скоростью света двух сигналов в противоположных направлениях вдоль оси x и проходящих через начало координат в момент времени t = 0.

Рис. 2. Область движения материальных частиц, проходящих точку x = 0 в момент времени t = 0.

Все линии, изображающие движение частиц, могут лежать только внутри областей aOc и dOb. На прямых ab и cd, очевидно, x = ± ct. Рассмотрим теперь события, мировые точки которых лежат внутри области aOc. Во всех точках этой области c²t²–x² > 0, т.е. интервал между любым событием в этой области и событием O — времениподобный. В этой области t>0, т.е. все события этой области происходят "после" события O.

Рис. 3. Разбиение пространства-времени на абсолютно будущие, абсолютно прошедшие и абсолютно удаленные события.

Но два события, разделенные времениподобным интервалом, ни в какой системе отсчета не могут происходить одновременно. Следовательно, нельзя выбрать и никакой системы отсчета, где какое-нибудь из событий области aOc происходило бы "до" события O, т.е. когда было бы t<0. Таким образом, все события области aOc являются будущими по отношению к O, и притом во всех системах отсчета. По этой причине эту область можно назвать абсолютно будущей по отношению к событию O.

Рис. 4. Заштрихованная область соответствует времениподобным интервалам.

Рассуждая аналогичным образом, мы приходим к выводу, что все события области bOd являются абсолютно прошедшими по отношению к O, т.е. события этой области во всех системах отсчета происходят до события O.

Наконец, рассмотрим еще области dOa и cOb.

Рис. 5. Заштрихованная область соответствует пространственноподобным интервалам.

Интервал между любым событием этой области и событием O — пространственноподобный. В любой системе отсчета эти события происходят в разных местах пространства. Поэтому эти области можно назвать абсолютно удаленными по отношению к O. Понятия "одновременно", "раньше" и "позже" для этих событий, однако, относительны. Для всякого события из этой области найдутся такие системы отсчета, где оно происходит позже события O, системы, где оно происходит раньше O, и, наконец, одна система отсчета, где оно происходит одновременно с O.

Световой конус

Заметим, что если рассматривать все три пространственные координаты вместо одной, то вместо двух пересекающихся прямых ab и dc на рис.3, мы имели бы "конус"

в четырехмерной системе координат x, y, z, t, ось которого совпадает с осью t. Этот конус называют световым конусом. Области "абсолютно будущего" и "абсолютно прошедшего" изображаются тогда соответственно двумя внутренними полостями этого конуса. Здесь имеется полная аналогия с евклидовой геометрией, в которой конус, изображенный на рис.6, описывается уравнением

Рис. 6. Обычный конус.

Два события могут быть причинно связаны друг с другом только в том случае, если интервал между ними времениподобный, так как никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью света. Как мы только что убедились, как раз для таких событий имеют абсолютный смысл понятия "раньше" и "позже", что является необходимым условием для того, чтобы имели смысл понятия причины и следствия.

¹ т.е. ее независимости от выбора инерциальной системы отсчета.

Например в случае обычного правила сложения скоростей








Авторы: