WIIKI.RU: Физика | Естественные и точные науки

Физика - это область естествознания, наука. Она изучает самые общие и фундаментальные закономерности, которые определяют структуру и эволюцию материальн... читать далее »

Статьи по Физике

17.10.2009 00:00

Преобразования Лоренца. Физика.

Нашей задачей сейчас будет нахождение формул преобразования от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. формул, по которым, зная координаты x, y, z, t события в некоторой системе отсчета K, можно найти координаты x', y', z', t' того же события в другой инерциальной системе K'.

В классической механике, как известно, этими преобразованиями являются преобразования Галилея (см. рис. 6):

x = x'+Vt, y = y', z = z', t = t' .

(18)

Рис. 6. Две инерциальные системы отсчета.

Однако они не удовлетворяют требованию теории относительности, так как не оставляют инвариантными интервалы между событиями. Релятивистские же формулы преобразования мы будем искать из требования, чтобы они оставляли интервалы инвариантными.

Как мы уже видели ранее, интервал между двумя событиями можно рассматривать как расстояние между соответствующими двумя мировыми точками в четырехмерной системе координат. Мы, следовательно, можем сказать, что искомое преобразование должно оставлять неизменными все длины в четырехмерном пространстве x, y, z, ct. По аналогии с обычной (декартовой) системой координат такими преобразованиями являются только параллельные переносы и вращения системы координат. Из них переносы системы координат параллельно самой себе не представляют интереса, так как сводятся просто к переносу начала пространственных координат и изменению момента начала отсчета времени. Таким образом, искомое преобразование должно математически выражаться как вращение четырехмерной системы координат x, y, z, t.

Всякое вращение в четырехмерном пространстве можно разложить на шесть независимых вращений в плоскостях ²

xy, yz, xz, xt, yt, zt

(19)

(подобно тому, как всякое вращение в обычном трехмерном пространстве можно разложить на три вращения в плоскостях xy, yz, xz). Первые три из этих вращений преобразуют только пространственные координаты; они соответствуют обычным пространственным поворотам.

Рассмотрим поворот в плоскости tx; координаты y и z при этом не меняются. Это преобразование должно оставлять неизменной разность

c²t²–x² = c²t^' 2 – x^' 2

(20)

— квадрат расстояния от точки (ct,x) до начала координат. Искомое преобразование будем искать в виде линейной комбинации

$\begin{array}{rcl} ct & = & b_{00} ct' + b_{01}x', \\[5pt] x & = & b_{10} ct'+b_{11} x' , \end{array}$

(21)

так что

$c^2t^2 - x^2 = \left(b_{00} ct' + b_{01} x'\right)^2 - (b_{10} ct' + b_{11} x')^2 =$
$(b_{00}^2-b_{10}^2)c^2t^{\prime 2} - (b_{11}^2 - b_{01}^2) x^{\prime 2} + 2ct'x'(b_{00}b_{01} - b_{10}b_{11}) .$			(22)

Сравнивая последнее выражение с c²t^' 2 – x^' 2, мы приходим к выводу, что для выполнения равенства (20) необходимо потребовать, чтобы

$\begin{array}{rcl} b_{00}^2 - b_{10}^2 & = & 1, \\[5pt] b_{11}^2 - b_{01}^2 & = & 1 , \\[5pt] b_{01}b_{00} - b_{11}b_{10} & = & 0 . \end{array}$

(23)

Первым двум равенствам можно удовлетворить автоматически, положив ³

b₀₀ = chψ , b₁₀ = shψ ,

(24)

поскольку для любого ψ тождественно ch²ψ – sh²ψ = 1. И аналогично

b₁₁ = chψ' , b₀₁ = shψ' .

(25)

Тогда третье запишется в виде

shψ'chψ = chψ'shψ , или thψ = thψ' .

(26)

Откуда следует, что ψ = ψ'. В результате

$\begin{array}{rcl} x & = & x'{\rm ch}\psi + ct'{\rm sh}\psi , \\[5pt] ct & = & x'{\rm sh}\psi + ct'{\rm ch}\psi . \end{array}$

(27)

Параметр ψ можно при этом рассматривать как угол поворота четырехмерной системы координат. Формулы (27) отличаются от обычных формул преобразования при повороте осей координат заменой тригонометрических функций гиперболическими. В этом проявляется отличие псевдоевклидовой геометрии от евклидовой.

Мы ищем формулы преобразования от инерциальной системы отсчета K к системе K', которая движется относительно K со скоростью V вдоль оси x (см. рис.6). При этом, очевидно, подвергаются преобразованию только координата x и время t. Поэтому оно должно быть вида (27). Остается определить угол ψ, который может зависеть только от относительной скорости V.

Рассмотрим движение в системе K начала координат системы отсчета K'. Тогда x' = 0 и формулы (27) принимают вид

$\begin{array}{rcl} x & = & ct'{\rm sh}\psi , \\[5pt] ct & = & ct'{\rm ch}\psi . \end{array}$

(28)

Разделив одно на другое, получим

$\frac{x}{ct} = {\rm th}\psi .$

(29)

Но x/t есть скорость V системы отсчета K' относительно K. В результате

${\rm th}\psi = \frac{V}{c}.$

(30)

Учитывая, что

${\rm sh}\psi = \frac{{\rm th}\psi}{\sqrt{1-{\rm th}^2\psi}}, {\rm ch}\psi = \frac{1}{\sqrt{1-{\rm th}^2\psi}} ,$

(31)

получаем

$\begin{array}{rcl} x & = & x'\frac{\displaystyle 1}{\sqrt{\displaystyle 1 - \displaystyle\frac{V^2}{c^2}}} + ct'\frac{\displaystyle\frac{V}{c_{}}}{\sqrt{\displaystyle 1 - \displaystyle\frac{V^2}{c^2}}} , \\[1.5cm] ct & = & x' \frac{\displaystyle\frac{V}{c_{}}}{\sqrt{\displaystyle 1 - \displaystyle\frac{V^2}{c^2}}} + ct' \frac{\displaystyle 1}{\sqrt{\displaystyle 1 - \displaystyle\frac{V^2}{c^2}}} . \end{array}$

(32)

или окончательно

$\left{ \begin{array}{rcl} x & = & \frac{\displaystyle x'+Vt'}{\sqrt{\displaystyle 1-\displaystyle \frac{V^2}{c^2}}} , y=y' , \\[1.5cm] t & = & \frac{\displaystyle t'+ \displaystyle \frac{V}{c^2_{}}x'}{\sqrt{\displaystyle 1 - \displaystyle \frac{V^2}{c^2}}}, z=z' . \end{array}\right.$

(33)

Это и есть искомые формулы преобразования. Они носят название формул преобразования Лоренца и имеют для дальнейшего фундаментальное значение.

Обратные формулы, выражающие x', y', z', t' через x, y, z, t проще всего получить заменой V→ –V (так как система K движется относительно K' со скоростью –V). Эти же формулы можно получить непосредственно, решая уравнения (33) относительно x', y', z', t'.

Из (33) следует, что при предельном переходе к классической механике c→∞ преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Лоренцево сокращение

Пусть в системе отсчета K покоится линейка, параллельная оси x. Ее длина, измеренная в этой системе, пусть будет равна Δ x = x₂–x₁ (x₂ и x₁ — координаты обоих концов линейки в системе K). Найдем теперь длину этой линейки, измеренную в системе K'. Для этого надо найти координаты обоих концов линейки (x₂' и x₁') в этой системе в один и тот же момент времени t'. Используя формулу преобразований Лоренца для координаты x, находим

$x_1=\frac{x_1'+Vt'}{\sqrt{\displaystyle 1-\displaystyle \frac{V^2}{c^2}}}, x_2=\frac{x_2'+Vt'}{\sqrt{\displaystyle 1-\displaystyle \frac{V^2}{c^2}}} .$

(34)

Длина линейки в системе K' есть

Δ x' = x₂'–x₁' .

(35)

Вычитая x₁ из x₂, находим

$x_2-x_1 = \Delta x = \frac{x_2'-x_1'}{\sqrt{\displaystyle 1 - \displaystyle \frac{V^2}{c^2}}} = \frac{\Delta x'}{\sqrt{\displaystyle 1 - \displaystyle \frac{V^2}{c^2}}} .$

(36)

Собственной длиной стержня называется его длина в той системе отсчета, в которой он покоится. Обозначим ее через l₀ = Δ x, а длину того же стержня в системе отсчета K' через l = Δ x'. Тогда из (36) получаем

$l=l_0\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} .$

(37)

Таким образом, самую большую длину стержень имеет в той системе отсчета, где он покоится. Длина его в системе, в которой он движется со скоростью V, уменьшается в отношении $\sqrt{1-V^2/c^2}$ . Этот результат теории относительности называется лоренцевым сокращением.

Поскольку поперечные размеры тела при его движении не меняются, то объем тела ${\cal V}$ сокращается по аналогичной формуле:

${\cal V} = {\cal V}_0 \sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} ,$

(38)

где ${\cal V}_0$ есть собственный объем тела.

Из преобразований Лоренца можно найти уже известные нам результаты относительно собственного времени. Пусть в системе K' покоятся часы. В качестве двух событий возьмем два события, произошедшие в одном и том же месте x', y', z' пространства в системе K'. Время в системе K' между этими событиями есть Δ t' = t₂'–t₁'. Найдем теперь время Δ t, которое прошло между этими же событиями в системе отсчета K. Имеем из преобразований Лоренца для времени

$t_1=\frac{\displaystyle t_1'+ \frac{V}{c^2}x'}{\sqrt{\displaystyle 1- \displaystyle\frac{V^2}{c^2}}} , t_2=\frac{\displaystyle t_2'+ \frac{V}{c^2}x'}{\sqrt{\displaystyle 1- \displaystyle\frac{V^2}{c^2}}} .$

(39)

Вычитая одно из другого:

$t_2-t_1=\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{\displaystyle 1 - \displaystyle \frac{V^2}{c^2}}}$

(40)

или $\Delta t'\equiv\tau=\Delta t\sqrt{1-V^2/c^2}$ — в полном соответствии с предыдущими результатами.

¹ Так, если мы полетим к далеким звездам со скоростью, близкой к скорости света, то расстояние до них нам будет казаться меньше, чем на Земле, и в пределе v→ c будет стремиться к нулю!

² С этой точки зрения бесконечно малый поворот в четырехмерном пространстве не является вектором, так как четырехмерный вектор должен иметь четыре, а не шесть компонент.

³ По определению: shψ = (e^ψ – e^–ψ)/2, chψ = (e^ψ + e^–ψ)/2, thψ = shψ/chψ.