Мы нашли формулы, связывающие координаты события в одной инерциальной системе с координатами того же события в другой инерциальной системе. Теперь давайте найдем формулы, связывающие скорость движущейся материальной точки в одной системе отсчета со скоростью той же точки в другой системе. Пусть опять система
Будем исходить из преобразований Лоренца для координат и времени
(1) |
Отсюда имеем
(2) |
Разделив первые три равенства на четвертое и введя скорости
(3) |
находим
(4) |
(5) |
(6) |
Формулы (4-6) и определяют преобразование скоростей. Они представляют собой закон сложения скоростей в теории относительности. В предельном случае
(7) |
В частном случае движения частицы параллельно оси
(8) |
Легко убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости света, есть снова скорость, не большая скорости света. Если обозначить
(9) |
то правило сложения скоростей запишется в виде
(10) |
Отсюда получаем, что
Применим формулу (8) для сложения скоростей к распространению света в жидкости, которая равномерно движется (течет) со скоростью
(11) |
В итоге мы приходим к результату, что скорость света в движущейся (в направлении распространения света) жидкости равна
(12) |
То есть она оказывается больше, чем скорость света в покоящейся жидкости. Жидкость увлекает свет за собой.
Интересно отметить, что эта формула была получена еще Френелем в 1818 г. Он исходил из представления, что эфир увлекается движущимися телами, однако не полностью, а лишь частично.
Рис. 1. Опыт Физо. |
Эта же формула была экспериментально подтверждена Физо в 1851 г. Схема его опыта, в трактовке, усовершенствованной Майкельсоном (1886 г.) следующая.
Луч света от источника
Совокупность координат события (
(13) |
Квадрат "длины" 4-радиус-вектора дается выражением
(14) |
Он не меняется при любых поворотах четырехмерной системы координат, которыми являются, в частности, преобразования Лоренца.
Вообще четырехмерным вектором (4-вектором)
(15) |
Квадрат величины всякого 4-вектора определяется аналогично квадрату 4-радиус-вектора:
(16) |
Очевидно, что эта величина, так же как и квадрат 4-радиус-вектора, инвариантна по отношению к преобразованиям Лоренца. Часто для удобства записи подобных выражений вводят два "сорта" компонент 4-векторов, обозначая их буквами
(17) |
Величины
(18) |
Здесь мы воспользовались правилом Эйнштейна, согласно которому по дважды повторяющемуся (немому) индексу подразумевается суммирование. При этом в отличие от обычной векторной алгебры (см. Лекцию 4) в каждой паре одинаковых индексов один должен стоять наверху, а другой внизу. В дальнейшем изложении мы будем обозначать четырехмерные индексы, пробегающие значения
Аналогично квадрату 4-вектора определяется скалярное произведение двух разных 4-векторов:
(19) |
Очевидно, что во всякой паре немых индексов всегда можно переставлять верхний и нижний индексы.
Произведение
(20) |
Это обстоятельство (по аналогии с инвариантностью квадрата
(21) |
По аналогии с 4-радиус-вектором компоненту 4-вектора
По отношению к чисто пространственным поворотам (т.е. преобразованиям не затрагивающим оси времени) три пространственные компоненты 4-вектора
(22) |
для контрвариантных и ковариантных компонент соответственно. Квадрат 4-вектора будем записывать в виде
(23) |
Например, для 4-радиус-вектора
(24) |
Четырехмерным тензором (4-тензором) 2-го ранга называется совокупность 16 величин
| |||
(25) |
Иными словами
(26) |
Таким же образом получаются формулы преобразования для остальных компонент тензора
Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены в трех видах: как контрвариантные
| |||
(27) |
Единичным 4-тензором называется тензор
(28) |
при любом 4-векторе
(29) |
Поднимая у тензора
(30) |
(индекс
(31) |
Скалярное произведение двух 4-векторов можно поэтому записать в виде
(32) |
В частности, квадрат интервала
(33) |
Отсюда понятно название — метрический тензор — он определяет метрику пространства-времени. Тензоры
Из обычного трехмерного вектора скорости
(34) |
Для нахождения его компонент замечаем, что
(35) |
где
| |||
(36) |
и так далее. Таким образом,
(37) |
Отметим, что 4-скорость есть величина безразмерная.
Компоненты 4-скорости не независимы. Из выражения (37) следует, что квадрат длины 4-скорости равен единице
(38) |
(это также следует из того факта, что
Аналогично определению 4-скорости, вторую производную
(39) |
можно назвать 4-ускорением. Дифференцируя соотношение (38), найдем
(40) |
т.е. 4-векторы скорости и ускорения взаимно ортогональны.
В нерелятивистской механике, как это следует из преобразований Галилея, ускорение материальной точки не зависит от выбора системы отсчета. Оно одинаково во всех инерциальных системах. Поэтому понятна та особая роль, которая отводилась в механике Ньютона равноускоренному движению материальной точки. Однако это уже не так в релятивистской механике. В ней ускорение (определяемое обычным образом как производная от скорости частицы
При рассмотрении произвольного движения точки среди всех инерциальных систем отсчета имеется одна выделенная (в каждый данный момент времени). Это так называемая собственная (или сопутствующая) система, которая движется вместе с частицей и в которой скорость частицы равна нулю. Понятно, что если частица не движется равномерно и прямолинейно, то в каждый момент времени это, очевидно, будут разные системы отсчета. Так вот, применительно к этой системе отсчета можно определить релятивистское равноускоренное движение частицы, как движение, при котором остается постоянной величина ускорения
Для простоты рассмотрим движение вдоль оси
(41) |
Вычисляя дифференциал от этой величины получаем
(42) |
Разделив это выражение на
(43) |
(см. (2)), получим связь между ускорениями в системах
(44) |
Пусть в лабораторной системе отсчета скорость частицы
(45) |
получаем для ускорения в лабораторной системе
(46) |
Отсюда
(47) |
или
(48) |
Выбирая начальные условия
(49) |
Интегрируя еще раз и полагая
(50) |
При
(51) |
При
Собственное время равноускоренно движущейся частицы дается интегралом
(52) |
где
(53) |
Так, при движении с ускорением ^2
(54) |
Рассмотренное нами выше релятивистское равноускоренное движение называют еще гиперболическим. 2 Действительно, связь (50) между координатой и временем при таком движении в лабораторной системе отсчета можно переписать в виде
(55) |
В координатах (
Рис. 2. Гиперболическое движение. |
Как следует из рис.2, фотон, посланный из начала координат
1 Обычная скорость
2 В противоположность параболическому движению в классической механике.
Авторы лекций: Д. А. Паршин и Г. Г. Зегря
Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе