Физика
Оптика
Общая характеристика световых явлений.
Фотометрия и светотехника.
Основные законы геометрической оптики.
Применение отражения и преломления света для получения изображения.
Оптические системы и их погрешности.
Оптические приборы.
Интерференция света.
Дифракция света.
Физические принципы оптической голографии.
Поляризация света и поперечность световых волн.
Шкала электромагнитных волн.
Спектры и спектральные закономерности.
Действия света на вещество.
Википедия
Физика
Физика - это область естествознания, наука. Она изучает самые общие и фундаментальные закономерности, которые определяют структуру и эволюцию материальн... читать далее »
Статьи по Физике
17.10.2009 00:00

Преобразование скоростей. Четырехмерные векторы и тензоры II ранга.. Физика.

Преобразование скоростей

Мы нашли формулы, связывающие координаты события в одной инерциальной системе с координатами того же события в другой инерциальной системе. Теперь давайте найдем формулы, связывающие скорость движущейся материальной точки в одной системе отсчета со скоростью той же точки в другой системе. Пусть опять система K' движется относительно системы K со скоростью V в положительном направлении вдоль оси x. Пусть vx = dx/dt есть x компонента скорости в системе K, а vx' = dx'/dt' — компонента скорости той же точки в системе K'.

Будем исходить из преобразований Лоренца для координат и времени


x = \frac{\displaystyle x' + Vt'} {\sqrt{\displaystyle 1-V^2/c^2}}, y = y', z = z' , t = \frac{\displaystyle t' + \frac{V}{c^2}x'} {\sqrt{\displaystyle 1-V^2/c^2}} .(1)

Отсюда имеем


dx = \frac{\displaystyle dx' + Vdt'} {\sqrt{\displaystyle 1-V^{2}/c^{2}}}, dy = dy', dz = dz' , dt = \frac{\displaystyle dt' + \frac{V}{c^2}dx'} {\sqrt{\displaystyle 1-V^{2}/c^{2}}} .(2)

Разделив первые три равенства на четвертое и введя скорости


{\bf v} = \frac{d{\bf r}}{dt} , {\bf v}' = \frac{d{\bf r}'}{dt'}(3)

находим


\frac{dx}{dt} = v_x = \frac{dx'+Vdt'}{\displaystyle dt' + \frac{V}{c^2}dx'} = \frac{v_x' + V}{\displaystyle 1+\frac{v_x'V}{c^2}},(4)


\frac{dy}{dt} = v_y = \frac{dy'\sqrt{1-V^2/c^2}} {\displaystyle dt'+\frac{V}{c^2}dx'} = \frac{v_y'\sqrt{1-V^2/c^2}}{\displaystyle 1 + \frac{v_x'V}{c^2}} ,(5)


\frac{dz}{dt} = v_z = \frac{dz'\sqrt{1-V^2/c^2}} {\displaystyle dt'+\frac{V}{c^2}dx'} = \frac{v_z'\sqrt{1-V^2/c^2}}{\displaystyle 1 + \frac{v_x'V}{c^2}} .(6)

Формулы (4-6) и определяют преобразование скоростей. Они представляют собой закон сложения скоростей в теории относительности. В предельном случае c→∞ они переходят в известные формулы классической механики:


vx = vx'+V,      vy = vy',     vz = vz' .(7)

В частном случае движения частицы параллельно оси x имеем vx = v, vy = vz = 0. Тогда vy' = vz' = 0, а vx' = v', причем


v=\frac{v'+V}{\displaystyle 1 + \frac{v'V}{c^2}} .(8)

Легко убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости света, есть снова скорость, не большая скорости света. Если обозначить


\frac{v}{c}={\rm th}\varphi , \frac{v'}{c}={\rm th}\varphi' , \frac{V}{c} = {\rm th}\psi ,(9)

то правило сложения скоростей запишется в виде


{\rm th}\varphi = \frac{{\rm th}\varphi' + {\rm th}\psi}{1+{\rm th}\varphi'{\rm th}\psi} = {\rm th} (\varphi'+\psi) .(10)

Отсюда получаем, что φ = φ' + ψ. Поскольку гиперболический тангенс не может превышать единицу, то всегда v\le c. Знак равенства достигается при v' = c, тогда из (8) следует, что и v = c. Это еще раз подтверждает тот факт, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Опыт Физо

Применим формулу (8) для сложения скоростей к распространению света в жидкости, которая равномерно движется (течет) со скоростью V. Как известно, скорость света относительно неподвижной жидкости равна v' = c/n, где n — показатель преломления жидкости. Предполагая, что свет распространяется в направлении течения жидкости, найдем его скорость относительно "неподвижной" системы отсчета. Для этого подставим в формулу (8) v' = c/n и преобразуем, оставляя только члены первого порядка по V/c << 1:


v=\frac{\displaystyle\frac{c}{n}+V}{\displaystyle 1+\frac{cV}{nc^2}} = \frac{\displaystyle\frac{c}{n}+V}{\displaystyle 1+\frac{V}{nc}} \approx \left(\frac{c}{n}+V \right) \left( 1 - \frac{V}{nc}\right) \approx \frac{c}{n} + V - \frac{\notc}{n} \frac{V}{n\notc} .(11)

В итоге мы приходим к результату, что скорость света в движущейся (в направлении распространения света) жидкости равна


v=\frac{c}{n} + \left(1-\frac{1}{n^2} \right)V .(12)

То есть она оказывается больше, чем скорость света в покоящейся жидкости. Жидкость увлекает свет за собой.

Интересно отметить, что эта формула была получена еще Френелем в 1818 г. Он исходил из представления, что эфир увлекается движущимися телами, однако не полностью, а лишь частично.


Рис. 1. Опыт Физо.

Эта же формула была экспериментально подтверждена Физо в 1851 г. Схема его опыта, в трактовке, усовершенствованной Майкельсоном (1886 г.) следующая.

Луч света от источника S раздваивается разделительной пластинкой P. Один луч на рисунке изображен сплошной, а другой пунктирной линией. Затем лучи проходят через трубки, по которым течет вода. Один луч идет в направлении течения, а другой против течения воды. Из-за различия скоростей лучей относительно неподвижных стенок трубки между ними при выходе из прибора возникает разность хода, изменяющаяся с изменением скорости течения V. Сначала наблюдается интерференция между лучами при неподвижной, а затем при текущей воде. По смещению интерференционных полос можно измерить разность хода, возникающую при течении, а по ней и разность скоростей vc/n.

Четырехмерные векторы

Совокупность координат события (ct, x, y, z) можно рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора (или 4-радиус-вектора) в четырехмерном пространстве. Его компоненты мы будем обозначать через xi, где индекс i пробегает значения 0, 1, 2, 3, причем


x0 = ct,      x1 = x,      x2 = y,     x3 = z .(13)

Квадрат "длины" 4-радиус-вектора дается выражением


(x0)2–(x1)2–(x2)2–(x3)2   .(14)

Он не меняется при любых поворотах четырехмерной системы координат, которыми являются, в частности, преобразования Лоренца.

Вообще четырехмерным вектором (4-вектором) Ai называется совокупность четырех величин A0, A1, A2, A3, которые при преобразованиях четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты 4-радиус-вектора xi. При преобразовании Лоренца


A^0=\frac{\displaystyle A^{\prime 0} + \frac{V}{c}A^{\prime 1}} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} , A^1= \frac{\displaystyle A^{\prime 1} + \frac{V}{c}A^{\prime 0}} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} , A^2=A^{\prime 2} , A^3=A^{\prime 3} .(15)

Квадрат величины всякого 4-вектора определяется аналогично квадрату 4-радиус-вектора:


(A0)2–(A1)2–(A2)2–(A3)2 .(16)

Очевидно, что эта величина, так же как и квадрат 4-радиус-вектора, инвариантна по отношению к преобразованиям Лоренца. Часто для удобства записи подобных выражений вводят два "сорта" компонент 4-векторов, обозначая их буквами Ai и Ai с индексами сверху и снизу. При этом


A0 = A0,      A1 = –A1,      A2 = –A2,      A3 = –A3 .(17)

Величины Ai называют контрвариантными, а Aiковариантными компонентами 4-вектора. Квадрат 4-вектора можно представить тогда в виде


\sum\limits_{i=0}^{3} A^iA_i = A^0A_0+A^1A_1+A^2A_2+A^3A_3\equiv A^iA_i .(18)

Здесь мы воспользовались правилом Эйнштейна, согласно которому по дважды повторяющемуся (немому) индексу подразумевается суммирование. При этом в отличие от обычной векторной алгебры (см. Лекцию 4) в каждой паре одинаковых индексов один должен стоять наверху, а другой внизу. В дальнейшем изложении мы будем обозначать четырехмерные индексы, пробегающие значения 0, 1, 2, 3, латинскими буквами i, k, l, ...

Аналогично квадрату 4-вектора определяется скалярное произведение двух разных 4-векторов:


AiBi = A0B0+A1B1+A2B2+A3B3 = AiBi .(19)

Очевидно, что во всякой паре немых индексов всегда можно переставлять верхний и нижний индексы.

Произведение AiBi является 4-скаляром — оно инвариантно по отношению к вращениям четырехмерной системы координат (т.е. по отношению к преобразованиям Лоренца). Иными словами,


AiBi = A'  iBi' .(20)

Это обстоятельство (по аналогии с инвариантностью квадрата AiAi) следует из того факта, что все 4-векторы преобразуются по одинаковому закону. Однако его можно проверить и непосредственно, если учесть, что закон преобразования ковариантных компонент вектора отличается от закона (15) для контрвариантных компонент лишь знаком


A_0=\frac{\displaystyle A_0' - \frac{V}{c}A_1'} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} , A_1= \frac{\displaystyle A_1' - \frac{V}{c}A_0'} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} , A_2=A_2' , A_3=A_3' .(21)

По аналогии с 4-радиус-вектором компоненту 4-вектора A0 называют временной, а компоненты A1, A2, A3 — пространственными. Квадрат 4-вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю. В этих трех случаях говорят соответственно о времениподобных, пространственноподобных и нулевых 4-векторах (снова по аналогии с терминологией для интервалов).

По отношению к чисто пространственным поворотам (т.е. преобразованиям не затрагивающим оси времени) три пространственные компоненты 4-вектора Ai составляют трехмерный вектор A. Временная же компонента 4-вектора A0 представляет собой (по отношению к этим же преобразованиям) трехмерный скаляр. Перечисляя компоненты 4-вектора, мы часто будем записывать их как


Ai = (A0A)      или      Ai = (A0, –A) ,(22)

для контрвариантных и ковариантных компонент соответственно. Квадрат 4-вектора будем записывать в виде


AiAi = (A0)2 – A2 .(23)

Например, для 4-радиус-вектора


xi = (ctr),      xi = (ct, –r),      xixi = c2t2r2 .(24)

Четырехмерным тензором (4-тензором) 2-го ранга называется совокупность 16 величин Aik, которые при преобразовании координат преобразуются как произведения компонент двух 4-векторов. Например, компонента тензора A01 преобразуется как x0x1:


x0x1 = \frac{\displaystyle x^{\prime 0}+\frac{V}{c}x^{\prime 1}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} \cdot \frac{\displaystyle x^{\prime 1}+\frac{V}{c}x^{\prime 0}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} =
 = \frac{\displaystyle x^{\prime 0}x^{\prime 1} + \frac{V}{c} x^{\prime 1}x^{\prime 1} + \frac{V}{c} x^{\prime 0}x^{\prime 0} + \frac{V^2}{c^2} x^{\prime 1}x^{\prime 0} }{\displaystyle 1 - \frac{V^2}{c^2}} .(25)

Иными словами


A^{01} = \frac{\displaystyle A^{\prime 01} + \frac{V}{c}A^{\prime 11} + \frac{V}{c}A^{\prime 00} + \frac{V^2}{c^2}A^{\prime 10}} {\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}} .(26)

Таким же образом получаются формулы преобразования для остальных компонент тензора Aik.

Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены в трех видах: как контрвариантные Aik, ковариантные Aik и смешанные Ai  k (в последнем случае надо вообще различать Ai  k и Ai  k, т.е. следить за тем, какой именно — первый или второй — индекс стоит вверху, а какой внизу). Связь между различными видами компонент определяется по общему правилу: поднятие или опускание временного индекса (0) не меняет, а поднятие или опускание пространственного индекса (1, 2, 3) меняет знак компоненты. Так:


A00 = A00,      A01 = –A01,      A11 = A11, ... ,
A0  0 = A00 ,      A0  1 = A01 ,      A0  1 = –A01 ,      A1  1 = – A11, ...(27)

Единичным 4-тензором называется тензор δki, для которого имеет место равенство


δikAi = Ak(28)

при любом 4-векторе Ai. Очевидно, что компоненты этого тензора равны


\delta_i^k = \left{ \begin{array}{lll} 1, & \mbox{если} i=k, \\ 0, & \mbox{если} i\neq k . \end{array} \right.(29)

Поднимая у тензора δik один или опуская другой индекс, мы получим контра- или ковариантный тензор, который обозначают как gik или gik и называют метрическим тензором. Тензоры gik и gik имеют одинаковые компоненты, которые можно представить в виде таблицы:


( g^{ik} ) = ( g_{ik} ) = \left( \begin{array}{rrrr} 1& 0& 0 & 0\\ 0& -1& 0 & 0 \\ 0& 0& -1 & 0\\ 0&0&0&-1 \end{array} \right)(30)

(индекс i нумерует строки, а индекс k — столбцы в порядке значений 0, 1, 2, 3). Очевидно, что


gikAk = Ai ,       gikAk = Ai .(31)

Скалярное произведение двух 4-векторов можно поэтому записать в виде


AiAi = AigikAk = gikAiAk = gikAiAk .(32)

В частности, квадрат интервала


ds2 = gikdxidxk .(33)

Отсюда понятно название — метрический тензор — он определяет метрику пространства-времени. Тензоры δki, gik и gik исключительны в том отношении, что их компоненты одинаковы во всех системах координат. Другими словами, преобразования Лоренца не меняют их вида.

Четырехмерная скорость

Из обычного трехмерного вектора скорости v можно образовать и четырехмерный вектор. Такой четырехмерной скоростью (4-скоростью) частицы является вектор  1


u^i=\frac{dx^i}{ds} .(34)

Для нахождения его компонент замечаем, что


ds=cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} ,(35)

где v — обычная трехмерная скорость частицы. Поэтому


u0 = \frac{dx^0}{ds}= \frac{cdt}{cdt\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} ,
u1 = \frac{dx^1}{ds}= \frac{dx^1}{cdt\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{v_x}{c\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} ,(36)

и так далее. Таким образом,


u^i = \left( \frac{1}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} , \frac{{\bf v}}{c\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} \right) .(37)

Отметим, что 4-скорость есть величина безразмерная.

Компоненты 4-скорости не независимы. Из выражения (37) следует, что квадрат длины 4-скорости равен единице


uiui = 1(38)

(это также следует из того факта, что dxidxi = ds2). Таким образом, ui есть единичный 4-вектор, касательный к мировой линии частицы.

Аналогично определению 4-скорости, вторую производную


w^i=\frac{d^2x^i}{ds^2}=\frac{du^i}{ds}(39)

можно назвать 4-ускорением. Дифференцируя соотношение (38), найдем


\frac{du^i}{ds}u_i + u^i\frac{du_i}{ds} = 2 w^iu_i = 0 ,(40)

т.е. 4-векторы скорости и ускорения взаимно ортогональны.

Гиперболическое движение

В нерелятивистской механике, как это следует из преобразований Галилея, ускорение материальной точки не зависит от выбора системы отсчета. Оно одинаково во всех инерциальных системах. Поэтому понятна та особая роль, которая отводилась в механике Ньютона равноускоренному движению материальной точки. Однако это уже не так в релятивистской механике. В ней ускорение (определяемое обычным образом как производная от скорости частицы dv/dt) оказывается разным в разных инерциальных системах отсчета. Поскольку скорость частицы ни в одной системе отсчета не может превысить скорости света, равноускоренное движение в релятивистской механике в течение достаточно большого промежутка времени в некоторой фиксированной системе отсчета вообще невозможно (в противном случае скорость частицы в этой системе могла бы превзойти скорость света).

При рассмотрении произвольного движения точки среди всех инерциальных систем отсчета имеется одна выделенная (в каждый данный момент времени). Это так называемая собственная (или сопутствующая) система, которая движется вместе с частицей и в которой скорость частицы равна нулю. Понятно, что если частица не движется равномерно и прямолинейно, то в каждый момент времени это, очевидно, будут разные системы отсчета. Так вот, применительно к этой системе отсчета можно определить релятивистское равноускоренное движение частицы, как движение, при котором остается постоянной величина ускорения w в собственной (в каждый данный момент времени) системе отсчета. Наша цель сейчас будет определить характер этого движения в некоторой (лабораторной) системе.

Для простоты рассмотрим движение вдоль оси x. Согласно формуле (4) для сложения скоростей


v_x=\frac{\displaystyle v'_x+V}{\displaystyle 1+\frac{v'_xV}{c^2}} .(41)

Вычисляя дифференциал от этой величины получаем


dv_x=\frac{\displaystyle dv'_x}{\displaystyle 1+\frac{v'_xV}{c^2}} -\frac{(v_x'+V)\displaystyle\frac{V}{c^2} dv'_x} {\left( \displaystyle 1+\frac{v'_xV}{c^2}\right)^2} .(42)

Разделив это выражение на


dt=\frac{dt'\left(\displaystyle 1+\frac{v_x'V}{c^2} \right)}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}}(43)

(см. (2)), получим связь между ускорениями в системах K и K':


\frac{dv_x}{dt}= \frac{dv'_x}{dt'}\frac{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}}{\left(\displaystyle 1+ \frac{v'_xV}{c^2} \right)^2}\left[1-\frac{V(v'_x+V)}{c^2\left(\displaystyle 1+ \frac{v'_xV}{c^2} \right) } \right] .(44)

Пусть в лабораторной системе отсчета скорость частицы vx = v. В собственной системе отсчета (для которой V = v) скорость v'x = 0. Обозначая (постоянное) ускорение в этой системе отсчета через w


w\equiv \frac{dv'_x}{dt'} ,(45)

получаем для ускорения в лабораторной системе


\frac{dv}{dt} = w\left(1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{3/2} .(46)

Отсюда


w=\frac{dv}{dt}\frac{\displaystyle 1}{\left(1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2} \right)^{3/2}}= \frac{d}{dt}\left(\frac{v}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} \right) ,(47)

или


\frac{v}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} = wt+const .(48)

Выбирая начальные условия v = 0 при t = 0, имеем const = 0. Тогда


v=\frac{wt}{\sqrt{\displaystyle 1+ \frac{w^2t^2}{c^2}}} .(49)

Интегрируя еще раз и полагая x = 0 при t = 0, получим:


x=\frac{c^2}{w}\left(\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}-1 \right) .(50)

При wt<< c эти формулы переходят в известные классические выражения для случая равноускоренного движения


v=wt, x=\frac{wt^2}{2} .(51)

При t→∞ скорость стремится к постоянному значению, равному скорости света c.

Собственное время равноускоренно движущейся частицы дается интегралом


\tau = \int\limits_0^t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt = \int\limits_0^t\frac{dt}{\sqrt{\displaystyle 1+\frac{w^2t^2}{c^2}}} = \frac{c}{w}{\rm Arsh}\frac{wt}{c} ,(52)

где Arsh x функция обратная sh x. При t→∞ собственное время растет по значительно более медленному, чем t, закону


\tau\approx \frac{c}{w}\ln\frac{2wt}{c} .(53)

Так, при движении с ускорением w=g\approx 9.8 \mbox{м/сек^2, равным ускорению силы тяжести на поверхности Земли, в течение τ = 10 лет (по часам космонавта) на Земле при этом пройдет срок


t=\frac{c}{2w}\exp\frac{w\tau}{c} \approx 14306 \mbox{лет}.(54)

Рассмотренное нами выше релятивистское равноускоренное движение называют еще гиперболическим 2 Действительно, связь (50) между координатой и временем при таком движении в лабораторной системе отсчета можно переписать в виде


\left(x+\frac{c^2}{w} \right)^2 - c^2t^2 = \frac{c^4}{w^2} .(55)

В координатах (x, ct) это есть уравнение гиперболы с фокусом на оси x в точке xc = –c2/w.


Рис. 2. Гиперболическое движение.

Как следует из рис.2, фотон, посланный из начала координат x = 0, позже момента времени c/w уже не догонит вылетевшую оттуда частицу в момент t = 0. Интересной особенностью гиперболического движения является также то, что движущийся таким образом электрический заряд не излучает электромагнитных волн!


1 Обычная скорость v не является пространственной компонентой какого-либо 4-вектора.

2 В противоположность параболическому движению в классической механике.




Авторы лекций: Д. А. Паршин и Г. Г. Зегря
Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе


© WIKI.RU, 2008–2017 г. Все права защищены.