WIIKI.RU: Физика | Естественные и точные науки

Физика - это область естествознания, наука. Она изучает самые общие и фундаментальные закономерности, которые определяют структуру и эволюцию материальн... читать далее »

Статьи по Физике

17.10.2009 00:00

Закон сохранения энергии-импульса. Формула Эйнштейна. Физика.

Релятивистский импульс. 4-вектор энергии-импульса.

По аналогии с 4-скоростью uⁱ введем 4-импульс для свободной частицы

pⁱ = m₀cuⁱ ,

(1)

где m₀ — масса в системе покоя частицы (масса покоя), или в компонентах

$p^i=\left(\frac{m_0c}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} , \frac{m_0{\bf v}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} \right) .$

(2)

Пространственная компонента 4-импульса

$\frac{m_0{\bf v}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}$

(3)

в пределе c→∞ переходит в обычный (классический) импульс p = m₀v. Поэтому мы, по аналогии с классической механикой, будем называть величину

${\bf p}=\frac{m_0{\bf v}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}$

(4)

релятивистским импульсом. Этому выражению можно придать обычный для классической механики вид

${\bf p}=m{\bf v} , \mbox{где} m=\frac{m_0}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}$

(5)

есть масса частицы, зависящая от ее скорости.

Выясним теперь, что представляет из себя временная компонента 4-импульса — $m_0c/\sqrt{1-v^2/c^2}$ . Для этого посмотрим, во что переходит это выражение при v<< c. Разлагая функцию $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ в ряд Тейлора по малому параметру v/c, мы имеем ¹

$\frac{m_0c}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}} } \approx m_0c\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \right)= m_0c+\frac{1}{2} \frac{m_0v^2}{c}.$

(6)

Умножая это выражение на c, получим

$\frac{m_0c^2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}} } \approx m_0c^2 + \frac{m_0v^2}{2} .$

(7)

Первое слагаемое в правой части этой формулы есть некоторая константа, не зависящая от скорости частицы и имеющая размерность энергии, а второе — есть не что иное, как кинетическая энергия частицы в классической механике. Поэтому по аналогии с классической механикой величина

${\cal E} = \frac{m_0c^2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}} } =mc^2$

(8)

называется энергией частицы в релятивистской механике, а энергия частицы при v = 0, т.е. величина m₀c² называется энергией покоя.

После этих определений можно представить 4-импульс частицы в виде

$p^i = m_0cu^i = \left(\frac{{\cal E}}{c}, {\bf p} \right) ,$

(9)

т.е. временная компонента 4-импульса представляет собой энергию частицы, деленную на скорость света c, а пространственная — импульс частицы. Поэтому часто 4-импульс называют 4-вектором энергии-импульса. Вспомнив о том, что 4-скорость является "единичным" 4-вектором, т.е. uⁱu_i = 1, мы получаем следующее релятивистски инвариантное соотношение:

pⁱp_i = m₀²c² ,

(10)

или

$\frac{{\cal E}^2}{c^2} - p^2 = m_0^2c^2 ,$

(11)

которое справедливо независимо от выбора инерциальной системы отсчета. В другой системе отсчета K' имеет место такое же соотношение

$\frac{{\cal E}^{\prime 2}}{c^2} - p^{\prime 2} = m_0^2c^2 .$

(12)

Иными словами, полученная формула Лоренца инвариантна.

Сами ${\cal E}$ и p меняются при переходе к другой системе отсчета в соответствии с преобразованиями Лоренца для 4-векторов

$\frac{{\cal E}}{c} = \frac{\displaystyle \frac{{\cal E}'}{c} + \frac{V}{c} p_x'}{\sqrt{\displaystyle 1 - \frac{V^2}{c^2}} } , p_x=\frac{\displaystyle p_x'+\frac{V}{c} \frac{{\cal E}'}{c}}{\sqrt{\displaystyle 1 - \frac{V^2}{c^2}}} , p_y=p_y', p_z=p_z'.$

(13)

Домножая первое соотношение на c, получим

${\cal E} = \frac{{\cal E}'+Vp_x'}{\sqrt{\displaystyle 1 - \frac{V^2}{c^2}}} , p_x = \frac{\displaystyle p_x'+\frac{V}{c^2}{\cal E}'}{\sqrt{\displaystyle 1 - \frac{V^2}{c^2}}} , p_y=p_y' , p_z=p_z' .$

(14)

Закон сохранения энергии-импульса

Какой смысл во всех этих обозначениях, определениях и названиях? Ведь если исходить только из совпадения данной величины с ее классическим пределом при c→∞, то мы могли бы назвать, например, "импульсом" величину

$\frac{m_0{\bf v}}{(1-v^2/c^2)}$

(15)

(она переходит в классическое выражение при c→∞), а "энергией" величину

$\frac{1}{2}\frac{m_0c^2}{(1-v^2/c^2)}\approx \frac{m_0c^2}{2} + \frac{m_0v^2}{2}$

(16)

(второе слагаемое в этой формуле есть кинетическая энергия частицы в классической механике).

Однако можно показать, что эти величины не являются компонентами какого-либо 4-вектора. А почему нам надо, чтобы они были компонентами 4-вектора? Все дело в том, что в релятивистской физике, так же как и в физике нерелятивистской, выполняются законы сохранения импульса и энергии. Это есть, можно сказать, опытный факт. Не обнаружено пока отклонений от этих законов сохранения. ² Но в силу принципа относительности эти законы сохранения должны выполняться во всех инерциальных системах, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно.

Рис. 1. Столкновение 2-х частиц в лабораторной системе.

Рассмотрим, например, столкновение 2-х частиц в лабораторной системе с образованием двух (вообще говоря, других) частиц. Закон сохранения импульса гласит

p₁ + p₂ = p₃ + p₄ .

(17)

А закон сохранения энергии

${\cal E}_1 + {\cal E}_2 = {\cal E}_3 + {\cal E}_4 .$

(18)

Но такие же законы сохранения должны выполняться и в любой другой инерциальной системе K', движущейся относительно лабораторной системы со скоростью V

$\begin{array}{rcl} {\bf p}'_1 + {\bf p}'_2 & = & {\bf p}'_3 + {\bf p}'_4 ,\\[5pt] {\cal E}'_1 + {\cal E}'_2 & = & {\cal E}'_3 + {\cal E}'_4 . \end{array}$

(19)

Если величины ${\cal E}/c$ и p являются компонентами 4-вектора, то это следует автоматически из преобразований Лоренца. Например, в проекции на ось x

$\begin{array}{rcl} p_{1x} + p_{2x} & = & p_{3x} + p_{4x},\\[5pt] {\cal E}_1 + {\cal E}_2 & = & {\cal E}_3 + {\cal E}_4 . \end{array}$

(20)

Применяя преобразования Лоренца, получаем из (20)

$\frac{\displaystyle p'_{1x}+\frac{V}{c^2}{\cal E}'_1}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} + \frac{\displaystyle p'_{2x}+\frac{V}{c^2}{\cal E}'_2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} = \frac{\displaystyle p'_{3x}+\frac{V}{c^2}{\cal E}'_3}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} + \frac{\displaystyle p'_{4x}+\frac{V}{c^2}{\cal E}'_4}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} ,$

(21)

$\frac{{\cal E}'_1+Vp'_{1x}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} + \frac{{\cal E}'_2+Vp'_{2x}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}}= \frac{{\cal E}'_3+Vp'_{3x}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}}+ \frac{{\cal E}'_4+Vp'_{4x}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} .$

(22)

После сокращения на $\sqrt{1-V^2/c^2}$ имеем

$\begin{array}{rcl} p'_{1x} + p'_{2x} + \displaystyle\frac{V}{c^2}({\cal E}'_1+{\cal E}'_2) & = & p'_{3x} + p'_{4x} + \displaystyle\frac{V}{c^2}({\cal E}'_3+{\cal E}'_4) ,\\[15pt] {\cal E}'_1+{\cal E}'_2+V(p'_{1x}+p'_{2x}) & = & {\cal E}'_3+{\cal E}'_4+V(p'_{3x}+p'_{4x}) . \end{array}$

(23)

Домножая второе уравнение на V/c² и вычитая его из первого, получим

(1–V²/c²)(p'_1x+p'_2x) = (1–V²/c²)(p'_3x+p'_4x) .

(24)

В итоге мы приходим к закону сохранения импульса в системе K'

p'_1x+p'_2x = p'_3x+p'_4x .

(25)

Но если выполняется закон сохранения импульса, то из первого уравнения системы (23) следует закон сохранения энергии

${\cal E}'_1 + {\cal E}'_2 = {\cal E}'_3 + {\cal E}'_4 .$

(26)

Таким образом, мы приходим к выводу, что

сохраняющиеся величины в релятивистской физике должны быть компонентами 4-векторов (или тензоров).

Тогда законы сохранения, будучи справедливы в одной инерциальной системе отсчета, будут справедливы и в любой другой инерциальной системе.

Зависимость массы от скорости

Возможно, кто-то остался неудовлетворенным этим довольно формальным выводом выражений для энергии и импульса релятивистской частицы. Поэтому приведем еще один вывод, заимствованный из книги М.Борна "Эйнштейновская теория относительности", Мир, Москва, 1972 г. (стр. 262). Давайте будем искать выражение для импульса частицы в виде

p = m(v)v,

(27)

считая, что масса частицы m(v) есть некоторая функция ее скорости, которую нам предстоит определить исходя из предположения, что импульс частицы — сохраняющаяся величина.

Рассмотрим для этого неупругое столкновение двух одинаковых тел одно из которых покоится (в некоторой лабораторной системе отсчета K), а другое движется к нему со скоростью v. После столкновения тела слипаются и продолжают движение вместе с некоторой скоростью u, которую нам надо найти.

Рис. 2. Неупругое столкновение двух одинаковых тел.

Закон сохранения импульса в проекции на первоначальное направления движения (которое мы выбираем качестве оси x) в лабораторной системе гласит

m(v)v = M(u)u ,

(28)

где M(u) — масса образовавшегося тела. Посмотрим теперь на то же столкновение из другой инерциальной системы K', которая движется вправо относительно системы K со скоростью v (рис.3).

Рис. 3. То же столкновение в системе K'.

В этой системе первая частица покоится, а вторая налетает на нее со скоростью –v. В результате образующаяся составная частица движется со скоростью –u (так как процесс симметрично выглядит в этой системе по сравнению с системой K). Применяя теперь закон сложения скоростей, мы можем связать u и v. Для этого в формулу

$v_x=\frac{v'_x+V}{\displaystyle 1+\frac{v'_xV}{c^2}}$

(29)

подставим v_x = u, v'_x = –u и V = v. В результате получим

$u=\frac{-u+V}{\displaystyle 1-\frac{uv}{c^2}}.$

(30)

Относительно скорости u это есть квадратное уравнение. Выбирая из двух корней тот корень, который соответствует скорости, меньшей скорости света, получим

$u=\frac{c^2}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \right) .$

(31)

В пределе c→∞ это переходит в известный классический предел u = v/2.

Рассмотрим теперь то же столкновение из системы K'', которая движется вниз со скоростью V.

Рис. 4. Система K''.

В этой системе отсчета, если мы развернем картинку и снова сделаем ось x горизонтальной, столкновение тел будет выглядеть так, как показано на рис 5.

Рис. 5. Столкновение в системе K''.

Для определения компонент скоростей тел до и после столкновения в системе K'' воспользуемся формулами преобразования скоростей

$v''_x=\frac{v_x-V_x}{\displaystyle 1 - \frac{v_xV_x}{c^2}}, v''_y=\frac{v_y\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}}{\displaystyle 1-\frac{v_xV_x}{c^2}} .$

(32)

В данном случае

V_x = –V

(33)

v_1x = v_2x = v_σ x = 0

(34)

(значок σ относится к телу образовавшемуся в результате столкновения). Поэтому из формул (32) следует для x компонент скоростей в системе K''

v''_1x = v''_2x = v''_σ x = V.

(35)

Аналогичным образом, поскольку

v_1y = v, v_2y = 0, v_σ y = u ,

(36)

получаем для y компонент скоростей

$v''_{1y}=v\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}, v''_{2y}=0 , v''_{\sigma y}=u\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} .$

(37)

Запишем теперь закон сохранения импульса в системе K'' в проекции на ось x

$\underbrace{m\left(\sqrt{V^2+v^2\left(1-\frac{V^2}{c^2} \right)} \right)V}_{1 част.} + \underbrace{m(V)V}_{2 част.} = \underbrace{M\left(\sqrt{V^2+u^2\left(1-\frac{V^2}{c^2} \right)} \right)V}_{сост. част.} .$

Сокращая на V, получаем

$m(V) + m\left(\sqrt{V^2+v^2\left(1-\frac{V^2}{c^2} \right)} \right) = M\left(\sqrt{V^2+u^2\left(1-\frac{V^2}{c^2} \right)}\right) .$

(38)

Это равенство должно выполняться при любом V, в том числе и при V = 0

m(0)+m(v) = M(u) .

(39)

В таком виде оно представляет собой не что иное, как закон сохранения массы при неупругом столкновении двух тел. Подставляя теперь M(u) в закон сохранения импульса (28), получим

$m(v)v=uM(u)=u\left[m(0)+m(v) \right] .$

(40)

Разрешая это уравнение относительно m(v), приходим к соотношению

$m(v)=m(0)\frac{u}{v-u} .$

(41)

Нам теперь осталось вычислить только отношение u/(v–u). Подставляя в него скорость u из уравнения (31), получим

	$\frac{\displaystyle u}{\displaystyle v-u} = \frac{\displaystyle \frac{c^2}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \right)}{\displaystyle v-\frac{c^2}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \right)} = \frac{\displaystyle 1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}-1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =$
	$\frac{\displaystyle 1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} {\displaystyle \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \right)} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} .$		(42)

Таким образом, мы приходим к уже известному нам выражению для массы тела, зависящей от его скорости

$m(v)=\frac{m(0)}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} .$

(43)

Попутно мы доказали, что если сохраняется импульс (во всех инерциальных системах отсчета), то сохраняется и масса (зависящая от скорости), или, что то же самое, энергия, равная произведению массы тела на квадрат скорости света.

Связь энергии с массой. Формула Эйнштейна ${\cal E}=mc^2$

Важнейший результат специальной теории относительности относится к понятию массы. В дорелятивистской физике было два закона сохранения: закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Оба этих фундаментальных закона считались совершенно независимыми друг от друга. Теория относительности объединила их в один. Так, если тело, движущееся со скоростью v и получающее энергию E₀ в форме излучения ³ без изменения своей скорости, увеличивает при этом свою энергию на величину

$\frac{E_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} .$

(44)

В результате полная энергия тела становится равной

$\frac{(m_0+E_0/c^2)c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} .$

(45)

Следовательно, тело обладает такой же энергией, как и тело, движущееся со скоростью v и имеющее массу покоя m₀+E₀/c². Таким образом, можно сказать, что если тело получает энергию E₀, то его масса покоя увеличивается на величину E₀/c². Так, например, нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, и, если бы в нашем распоряжении были бы очень точные весы, мы бы убедились в этом непосредственно с помощью взвешивания.

Однако в нерелятивистской физике изменения энергии E₀, которые мы могли сообщить телу, были, как правило, недостаточно велики, чтобы можно было заметить изменения инертной массы тела. Величина E₀/c² в нашей обыденной жизни слишком мала по сравнению с массой покоя m₀, которую имело тело до изменения энергии. Этим обстоятельством объясняется тот факт, что закон сохранения массы так долго имел в физике самостоятельное значение.

Совершенно по-другому обстоит дело в релятивистской физике. Хорошо известно, что с помощью ускорителей мы можем сообщить телам (элементарным частицам) огромную энергию, достаточную для рождения новых (элементарных) частиц — процесс, который наблюдается сейчас сплошь и рядом на современных ускорителях элементарных частиц. Формула Эйнштейна ${\cal E}=mc^2$ "работает" в ядерных реакторах атомных электростанций, где энергия высвобождается за счет процесса деления ядер тяжелых элементов. Масса конечных продуктов реакции меньше массы исходного вещества. Эта разница масс, деленная на квадрат скорости света, и представляет собой полезную высвобожденную энергию. Подобным же образом нас обеспечивает теплом и наше Солнце, где за счет реакции термоядерного синтеза водород превращается в гелий и выделяется огромное количество энергии.

Сейчас можно считать твердо установленным, что инертная масса тела определяется количеством запасенной в теле энергии. Эту энергию сполна можно получить в процессе аннигиляции вещества с антивеществом, например, электрона с позитроном. В результате такой реакции образуются два гамма-кванта — фотона очень большой энергии. Этот источник энергии, возможно, будет использоваться в будущем в фотонных двигателях ракет для достижения ими субсветовых скоростей при полетах к далеким галактикам.

¹ Поскольку при x<< 1

$\frac{1}{\sqrt{1-x}}\approx 1 + \left(\frac{1} {\sqrt{1-x}} \right)^'_{x=0}\cdot x = 1+\frac{1}{2}x .$

² Когда такие отклонения обнаруживаются, то в конце концов оказывается, что это либо ошибка, либо, если выясняется, что ошибки нет, это приводит к открытию новых элементарных частиц. Наиболее яркий пример такого рода — это открытие нейтрино.

³ Здесь E₀ — полученная телом энергия при наблюдении из системы координат, движущейся вместе с телом.