Физика
Оптика
Общая характеристика световых явлений.
Фотометрия и светотехника.
Основные законы геометрической оптики.
Применение отражения и преломления света для получения изображения.
Оптические системы и их погрешности.
Оптические приборы.
Интерференция света.
Дифракция света.
Физические принципы оптической голографии.
Поляризация света и поперечность световых волн.
Шкала электромагнитных волн.
Спектры и спектральные закономерности.
Действия света на вещество.
Википедия
Физика
Физика - это область естествознания, наука. Она изучает самые общие и фундаментальные закономерности, которые определяют структуру и эволюцию материальн... читать далее »
Статьи по Физике
17.10.2009 00:00

Сила Лоренца. Преобразования Лоренца для электрического и магнитного поля.. Физика.

Сила Лоренца

Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом и магнитном поле в некоторой инерциальной системе K, называется силой Лоренца и записывается в виде


{\bf F}=e{\bf E}+\frac{e}{c}[{\bf v}\times{\bf H}] ,(1)

где e — заряд частицы, v — её скорость. Это выражение можно также считать определением электрического и магнитного полей в системе K. С помощью этой формулы уравнение движения частицы в поле в нерелятивистской механике можно записать в виде:


\frac{d{\bf p}}{dt}=e{\bf E} + \frac{e}{c}[{\bf v}\times{\bf H}] .(2)

Релятивистская форма уравнений движения

Наша задача сейчас — записать это уравнение, как говорят, в ковариантной форме, в которой оно было бы справедливо в любой инерциальной системе отсчета, т.е. представляло бы собой равенство двух 4-векторов. Первое, что надо сделать для перехода в релятивистскую область, это считать p в этом уравнении пространственной компонентой 4-импульса:


{\bf p}=\frac{m_0{\bf v}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}= m{\bf v} .(3)

Или, что то же самое, считать массу частицы, зависящей от её скорости обычным образом.

Оказывается, что этого изменения достаточно для того, чтобы это уравнение описывало и движение частиц со скоростями, близкими к скорости света. Конструкторы современных ускорителей при своих расчетах опираются именно на это уравнение. На этом можно было бы поставить точку. Но постойте, скажете вы. Ведь величина dp/dt не представляет собой пространственной компоненты какого-либо 4-вектора. А про правую часть мы вообще ничего не можем сказать, т.е. не знаем, как преобразуются поля E и H при переходе к другой инерциальной системе отсчета.

Поэтому давайте попытаемся представить это уравнение как равенство двух 4-векторов. Мы увидим, что эта затея принесет нам много интересной и полезной информации и позволит сделать важные выводы о единстве и различие электрического и магнитного полей. Разберемся для этого сначала с левой частью. Итак, dp/dt нас не устраивает. Исходя из имеющегося у нас опыта было бы лучше иметь вместо этого dp/ds. Тогда это будет пространственная компонента некоторого 4-вектора, поскольку ds=cdt\sqrt{1-v^2/c^2} — это скалярная величина в геометрии Минковского. Таким образом,


\frac{d{\bf p}}{ds}= \frac{d{\bf p}}{cdt\sqrt{\displaystyle 1- \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{c\sqrt{\displaystyle 1- \frac{v^2}{c^2}}}\frac{d{\bf p}}{dt} .(4)

Величину dp/dt в этом равенстве можно заменить на силу Лоренца. Тогда получим


\frac{d{\bf p}}{ds}=\frac{1}{c\sqrt{\displaystyle 1- \frac{v^2}{c^2}}} \left(e{\bf E} + \frac{e}{c}[{\bf v}\times{\bf H}] \right) = \frac{e}{c}u^0{\bf E} + \frac{e}{c}[{\bf u}\times{\bf H}] ,(5)

где мы ввели в игру 4-скорость


u^i=(u^0, {\bf u})= \left(\frac{1}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{{\bf v}}{c\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} \right) .(6)

Таким образом, слева у нас стоит пространственная компонента 4-вектора. Значит, справа тоже. Её можно считать пространственной компонентой 4-силы f. Интересной особенностью этой величины является то, что она, как следует из выражения (5), — линейна по 4-скорости частицы ui. А линейная связь между двумя 4-векторами всегда может быть представлена в виде тензорного равенства


g^i=\frac{e}{c}F^i_{ k}u^k ,(7)

где коэффициенты пропорциональности представляют собой компоненты 4-тензора II ранга Fi  k 1

Тензор электромагнитного поля

В такой форме эти компоненты зависят только от проекций электрического и магнитного поля E и H. Давайте найдем эти компоненты! Исходить будем из условия, что ковариантная форма уравнений движения имеет вид:


\frac{dp^i}{ds}=f^i=\frac{e}{c}F^i_{ k}u^k(8)

(мы убедились в этом для значений i = 1,2,3, соответствующих пространственным компонентам). Так, с одной стороны


\frac{dp^1}{ds}=\frac{e}{c}F^1_{ k}u^k = \frac{e}{c} \left(F^1_{ 0}u^0 + F^1_{ 1}u^1 + F^1_{ 2}u^2 + F^1_{ 3}u^3 \right) .(9)

С другой стороны из уравнение (5)


\frac{dp^1}{ds}=\frac{e}{c}\left(u^0 E_x + u_y H_z - u_z H_y \right).(10)

С учетом, что uy≡ uz, а uz≡ u3 и сравнивая уравнения (9) и (10), получаем


F1  0 = Ex ,     F1  1 = 0 ,     F1  2 = Hz ,      F1  3 = –Hy  .(11)

Аналогичным образом, сравнивая проекции на оси y и z уравнений (5) и (8), получаем две дополнительных цепочки равенств


F2  0 = Ey ,     F2  1 = –Hz ,     F2  2 = 0 ,      F2  3 = Hx ,(12)


F3  0 = Ez ,     F3  1 = Hy ,     F3  2 = –Hx ,      F3  3 = 0 .(13)

Таким образом, у нас есть выражения для всех компонент тензора Fi  k, за исключением 4-х компонент F0  0, F0  1, F0  2 и F0  3.

Найдем эти компоненты, воспользовавшись законом сохранения энергии. Поскольку временная компонента 4-импульса p^0={\cal E}/c, то


\frac{dp^0}{ds}=\frac{1}{c^2\sqrt{\displaystyle 1- \frac{v^2}{c^2}}} \frac{d{\cal E}}{dt} .(14)

С другой стороны,


\frac{d{\cal E}}{dt}=\frac{d{\cal E}}{d{\bf p}}\cdot\frac{d{\bf p}}{dt}= {\bf v}\cdot\frac{d{\bf p}}{dt}= e{\bf E}\cdot{\bf v} ,(15)

т.е. изменение энергии частицы в единицу времени равно работе силы в единицу времени. Член с магнитным полем вклада не дает, поскольку v·[v×H] = 0, т.е. магнитное поле работу над частицей не производит. Поэтому


\frac{dp^0}{ds}=\frac{1}{c^2\sqrt{\displaystyle 1- \frac{v^2}{c^2}}} e{\bf E}\cdot{\bf v} = \frac{e}{c}{\bf E}\cdot{\bf u}=\frac{e}{c}\left(E_xu^1+E_yu^2+E_zu^3 \right).(16)

Сравнивая это с (8)


\frac{dp^0}{ds}=\frac{e}{c}F^0_{ k}u^k=\frac{e}{c} \left(F^0_{ 0}u^0+F^0_{ 1}u^1+F^0_{ 2}u^2+F^0_{ 3}u^3 \right),(17)

находим недостающие 4 компоненты


F0  0 = 0 ,      F0  1 = Ex ,     F0  2 = Ey ,       F0  3 = Ez  .(18)

В итоге тензор Fi  k можно представить в виде


F^i_{ k} = \left( \begin{array}{cccc} 0& E_x& E_y & E_z\\ E_x& 0& H_z & -H_y\\ E_y& -H_z& 0 & H_x\\ E_z & H_y & -H_x & 0 \end{array} \right) .(19)

Наиболее употребительная запись этого тензора через контрвариантные компоненты. Поднимая по известному правилу 2-ой индекс, получим


F^{ik} = \left( \begin{array}{cccc} 0& -E_x& -E_y & -E_z\\ E_x& 0& -H_z & H_y\\ E_y& H_z& 0 & -H_x\\ E_z & -H_y & H_x & 0 \end{array} \right) .(20)

Этот антисимметричный 4-тензор II ранга называется тензором электромагнитного поля. С его помощью уравнение движения можно представить в ковариантном виде


\frac{dp^i}{ds}=\frac{e}{c}F^{ik}u_k .(21)

Таким образом, мы видим, что требование ковариантности уравнений движения  2 приводит нас к выводу о том, что электрическое и магнитное поле являются компонентами антисимметричного 4-тензора II ранга Fik. Можно сказать, что этот результат демонстрирует единство электрического и магнитного полей.

Можно спросить: ну, а какая от этого польза? Польза довольно очевидна. Зная, как преобразуются компоненты 4-тензора при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, мы можем вывести отсюда формулы преобразования для электрического и магнитного полей, связывающие эти величины в разных инерциальных системах отсчета.

Преобразования Лоренца для электрического и магнитного поля

Рассмотрим, как и ранее, две системы отсчета K и K' с параллельными осями координат, причем система K' движется со скоростью V в положительном направлении вдоль оси x. В лекции 20 мы вывели формулу (26) для преобразования компоненты произвольного тензора II ранга A01. Воспользовавшись ей, находим закон преобразования компоненты F01


F^{01} = \frac{\displaystyle F^{\prime 01} + \frac{V}{c}F^{\prime 11} + \frac{V}{c}F^{\prime 00} + \frac{V^2}{c^2}F^{\prime 10}} {\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}} = F^{\prime 01} ,(22)

т.е. эта компонента не меняется. При выводе мы пртняли во внимание факт антисимметричности тензора Fik, а именно то, что F'  11 = F'  00 = 0, и F'  10 = –F'  01.

Теперь заметим, что поскольку координаты x2 и x3 не меняются, то не меняется и компонента тензора F23 (она преобразуется так же, как произведение x2x3). По той же причине компоненты F12, F13 и F02, F03 преобразуются соответственно как x1 и x0:


F^{23}=F^{\prime 23} , F^{12}= \frac{\displaystyle F^{\prime 12}+\frac{V}{c}F^{\prime 02}} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} , F^{02}=\frac{\displaystyle F^{\prime 02}+\frac{V}{c}F^{\prime 12}} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} .(23)

И аналогично для компонент F13 и F03.

В результате, переписывая это в компонентах тензора Fik (20), получим преобразования Лоренца для электрического и магнитного полей E и H:


E_x=E'_x, E_y=\frac{\displaystyle E'_y+\frac{V}{c}H'_z} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} , E_z=\frac{\displaystyle E'_z-\frac{V}{c}H'_y} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} ,(24)


H_x=H'_x, H_y=\frac{\displaystyle H'_y-\frac{V}{c}E'_z} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} , H_z=\frac{\displaystyle H'_z+\frac{V}{c}E'_y} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} .(25)

Таким образом, электрическое и магнитное поля, как и большинство физических величин, — относительны, т.е. их величина (и направление) различаются в разных системах отсчета. В частности, электрическое (или магнитное) поле может быть равно нулю в одной системе отсчета и в то же время присутствовать в другой системе. Например, покоящийся электрический заряд создает вокруг себя одно только электрическое поле. Однако, рассматривая этот заряд в движущейся (относительно заряда) системе отсчета, мы замечаем, что поскольку движущийся заряд эквивалентен току, то вокруг него, помимо электрического, должно быть еще и магнитное поле. Это, как мы знаем, действительно имеет место.

Инварианты поля

Пользуясь преобразованиями Лоренца для полей, легко убедиться непосредственно, что имеются две комбинации (квадратичные по полю), инвариантные к преобразованиям от одной инерциальной системы отсчета к другой. Эти инварианты имеют вид


\begin{array}{rcl} H^2-E^2 & = & \mbox{inv} ,\\ {\bf E}\cdot{\bf H} & = & \mbox{inv} , \end{array}(26)

причем второй инвариант является псевдоскаляром (в нашем обычном 3-х мерном пространстве).

Из инвариантности этих выражений вытекает следующее. Так, если в какой-нибудь системе отсчета вектора E и H перпендикулярны друг другу, т.е. E·H = 0, то они будут перпендикулярны и во всякой другой системе отсчета. Если в какой-нибудь системе отсчета абсолютные значения векторов E и H равны друг другу (E2H2 = 0), то они будут одинаковы и в любой другой системе.


1 Для удобства мы выделили из этого тензора множитель e/c.

2 Согласно специальной (и общей) теории относительности все законы природы должны выражаться в ковариантной форме.







Авторы лекций: Д. А. Паршин и Г. Г. Зегря
Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе


© WIKI.RU, 2008–2017 г. Все права защищены.