Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом и магнитном поле в некоторой инерциальной системе
(1) |
где
(2) |
Наша задача сейчас — записать это уравнение, как говорят, в ковариантной форме, в которой оно было бы справедливо в любой инерциальной системе отсчета, т.е. представляло бы собой равенство двух 4-векторов. Первое, что надо сделать для перехода в релятивистскую область, это считать
(3) |
Или, что то же самое, считать массу частицы, зависящей от её скорости обычным образом.
Оказывается, что этого изменения достаточно для того, чтобы это уравнение описывало и движение частиц со скоростями, близкими к скорости света. Конструкторы современных ускорителей при своих расчетах опираются именно на это уравнение. На этом можно было бы поставить точку. Но постойте, скажете вы. Ведь величина
Поэтому давайте попытаемся представить это уравнение как равенство двух 4-векторов. Мы увидим, что эта затея принесет нам много интересной и полезной информации и позволит сделать важные выводы о единстве и различие электрического и магнитного полей. Разберемся для этого сначала с левой частью. Итак,
(4) |
Величину
(5) |
где мы ввели в игру 4-скорость
(6) |
Таким образом, слева у нас стоит пространственная компонента 4-вектора. Значит, справа тоже. Её можно считать пространственной компонентой 4-силы
(7) |
где коэффициенты пропорциональности представляют собой компоненты 4-тензора II ранга
В такой форме эти компоненты зависят только от проекций электрического и магнитного поля
(8) |
(мы убедились в этом для значений
(9) |
С другой стороны из уравнение (5)
(10) |
С учетом, что
(11) |
Аналогичным образом, сравнивая проекции на оси
(12) |
(13) |
Таким образом, у нас есть выражения для всех компонент тензора
Найдем эти компоненты, воспользовавшись законом сохранения энергии. Поскольку временная компонента 4-импульса , то
(14) |
С другой стороны,
(15) |
т.е. изменение энергии частицы в единицу времени равно работе силы в единицу времени. Член с магнитным полем вклада не дает, поскольку
(16) |
Сравнивая это с (8)
(17) |
находим недостающие 4 компоненты
(18) |
В итоге тензор
(19) |
Наиболее употребительная запись этого тензора через контрвариантные компоненты. Поднимая по известному правилу 2-ой индекс, получим
(20) |
Этот антисимметричный 4-тензор II ранга называется тензором электромагнитного поля. С его помощью уравнение движения можно представить в ковариантном виде
(21) |
Таким образом, мы видим, что требование ковариантности уравнений движения 2 приводит нас к выводу о том, что электрическое и магнитное поле являются компонентами антисимметричного 4-тензора II ранга
Можно спросить: ну, а какая от этого польза? Польза довольно очевидна. Зная, как преобразуются компоненты 4-тензора при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, мы можем вывести отсюда формулы преобразования для электрического и магнитного полей, связывающие эти величины в разных инерциальных системах отсчета.
Рассмотрим, как и ранее, две системы отсчета
(22) |
т.е. эта компонента не меняется. При выводе мы пртняли во внимание факт антисимметричности тензора
Теперь заметим, что поскольку координаты
(23) |
И аналогично для компонент
В результате, переписывая это в компонентах тензора
(24) |
(25) |
Таким образом, электрическое и магнитное поля, как и большинство физических величин, — относительны, т.е. их величина (и направление) различаются в разных системах отсчета. В частности, электрическое (или магнитное) поле может быть равно нулю в одной системе отсчета и в то же время присутствовать в другой системе. Например, покоящийся электрический заряд создает вокруг себя одно только электрическое поле. Однако, рассматривая этот заряд в движущейся (относительно заряда) системе отсчета, мы замечаем, что поскольку движущийся заряд эквивалентен току, то вокруг него, помимо электрического, должно быть еще и магнитное поле. Это, как мы знаем, действительно имеет место.
Пользуясь преобразованиями Лоренца для полей, легко убедиться непосредственно, что имеются две комбинации (квадратичные по полю), инвариантные к преобразованиям от одной инерциальной системы отсчета к другой. Эти инварианты имеют вид
(26) |
причем второй инвариант является псевдоскаляром (в нашем обычном 3-х мерном пространстве).
Из инвариантности этих выражений вытекает следующее. Так, если в какой-нибудь системе отсчета вектора
1 Для удобства мы выделили из этого тензора множитель
2 Согласно специальной (и общей) теории относительности все законы природы должны выражаться в ковариантной форме.
Авторы лекций: Д. А. Паршин и Г. Г. Зегря
Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе