До сих пор в механике мы рассматривали движение материальной точки в инерциальной системе отсчета. При этом уравнение движения имело вид II закона Ньютона
(1) |
где
Посмотрим теперь, как выглядит то же движение в неинерциальной системе отсчета. Начнем с поступательного движения неинерциальной системы
Рис. 1. Инерциальная и неинерциальная системы отсчета |
Пусть радиус-вектор
(2) |
Дифференцируя по времени, отсюда находим
(3) |
Если обозначить (ускорение материальной точки в инерциальной системе отсчета
(4) |
Таким образом, при поступательном движении (когда не меняется ориентация осей координатной системы
(5) |
В итоге мы получаем закон движения в неинерциальной системе отсчета
(6) |
Отсюда мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения движения частицы, ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля, причем действующая в этом поле сила равна произведению массы частицы на ускорение
Рассмотрим теперь случай, когда система
(7) |
и
(8) |
Если радиус-вектор
(9) |
Если же радиус-вектор
(10) |
где
Найдем теперь вторую производную, т.е. ускорение
(11) |
Аналогичным образом рассуждая, можно записать
(12) |
где
(13) |
В итоге
(14) |
или, используя (13), получаем
(15) |
Подставляя это во II закон Ньютона, находим
(16) |
Мы видим из этого выражения, что "силы инерции", обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей. Сила — связана с неравномерностью вращения, в то время как две другие присутствуют и при равномерном вращении. Сила
Одной из наиболее "доступных" нам неинерциальных систем отсчета является Земля. Как мы уже упоминали, центростремительное ускорение точки на экваторе
Наиболее просто учесть влияние центробежной силы.
Рис. 2. Центробежная сила. |
Согласно рис. 2 суммарная сила, действующая на тело на поверхности Земли, складывается из силы тяжести и центробежной силы
(17) |
Так, если форма Земли была бы строго сферической (и вещество Земли было бы распределено в ней сферически симметрично), то без учета центробежной силы сила
(18) |
Это приводит к тому, что вес тела на экваторе меньше веса того же тела на полюсе (измеренного с помощью пружинных весов). Собственно этим эффектом — изменением веса тела — и исчерпывается действие центробежных сил.
Гораздо хитрее проявление Кориолисовых сил. Они появляются только при движении тела относительно Земли. Кориолисова сила приводит к нескольким наблюдаемым эффектам:
Рассмотрим первый из этих эффектов. Запишем уравнение движения в виде
(19) |
где (мы опустили штрихи у векторов
(20) |
Далее будем решать это уравнение последовательными приближениями (т.к. сила Кориолиса мала по сравнению с силой тяжести). Представим скорость
(21) |
где
(22) |
т.е.
(23) |
где
(24) |
Принимая во внимание (22) и пренебрегая малым последним слагаемым в правой части уравнения (24), получим
(25) |
Интегрируя это уравнение с начальным условием
(26) |
где