Кривизна пространства-времени

Из гравитационного красного смещения следует кривизна пространства-времени. Чтобы показать это, рассмотрим двух наблюдателей, один из которых покоится на поверхности Земли на высоте z₁, а другой над поверхностью Земли на высоте z₂ = z₁+H.

Рис. 1. Два наблюдателя обмениваются электромагнитными импульсами.

Наблюдатели, используя радиолокацию, могут убедиться, что они покоятся, как по отношению друг к другу, так и по отношению к Земле.

Пусть теперь нижний наблюдатель испускает электромагнитный сигнал фиксированной стандартной частоты ω_нижн, принимаемый верхним наблюдателем. Для определенности положим, что сигнал представляет собой импульс, содержащий точно N колебаний.

Рис. 2. Импульс, посланный нижним наблюдателем.

Тогда интервал времени δτ_нижн, в течение которого испускается импульс, задается выражением

Верхний наблюдатель должен принять те же N колебаний электромагнитного волнового импульса и измерить время δτ_верхн, которое для этого требуется. Согласно определению частоты, имеем

Эффект красного смещения, установленный экспериментально, свидетельствует о том, что

а следовательно, интервалы времени имеют разную длительность

Перенесем теперь эту информацию на пространственно-временную диаграмму, описывающую этот эксперимент с точки зрения специальной теории относительности. Электромагнитные волны есть не что иное, как лучи света, поэтому их распространение на пространственно-временном чертеже можно изобразить нулевыми линиями, наклоненными под углом 45^° к осям системы координат.

Рис. 3. Пространственно-временная диаграмма.

В таком упрощенном (и не совсем верном) варианте доказательства мы приходим к противоречию, замечая, что получили параллелограмм в пространстве-времени Минковского с двумя противоположными ребрами, которые не равны друг другу (τ_верхн > τ_нижн), тогда как в плоском пространстве-времени противоположные стороны параллелограмма должны быть всегда равны друг другу. Отсюда вытекает, что

специальная теория относительности не может быть справедлива в достаточно протяженной области при наличии гравитационного поля.

Глобально пространство-время перестает быть плоским, о чем свидетельствуют траектории лучей света, хотя локально физика прекрасно описывается плоской геометрией Лоренца-Минковского.

Гравитационное поле искривляет не только пространство-время Минковского. Оно искривляет и наше 3-х мерное евклидово пространство (привычное нам из школьной геометрии). Приведем простое рассуждение, наглядно иллюстрирующее неизбежность возникновения неевклидовости пространства при переходе к неинерциальной системе отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, одна из которых (K) — инерциальная, а другая (K') — равномерно вращается относительно K вокруг общей оси z. Наблюдатель, который сидит не в самом центре диска K', подвергается действию силы, направленной радиально от центра. С точки зрения наблюдателя в инерциальной системе отсчета K это есть не что иное как центробежная сила инерции. Однако наблюдатель, неподвижный относительно системы K', считает эту силу действием гравитационного поля.

Окружность в плоскости xy системы K (с центром в начале координат) может рассматриваться и как окружность в плоскости x'y' системы K'. Измеряя длину окружности и ее диаметр масштабной линейкой в системе K, мы получим значения, отношение которых равно π, в соответствии с евклидовостью геометрии в инерциальной системе отсчета.

Пусть теперь измерение производится неподвижным относительно K' масштабом. Наблюдая за этим процессом из системы K, мы найдем, что масштаб, приложенный вдоль окружности, претерпевает лоренцево сокращение, а радиально приложенный масштаб не меняется. Ясно поэтому, что отношение длины окружности к ее диаметру, полученное наблюдателем K' в результате такого измерения, окажется больше π. Тем самым доказано, что положения геометрии Евклида не могут точно выполняться на вращающемся диске и, таким образом, согласно принципу эквивалентности, вообще в гравитационном поле, по крайней мере, когда масштабу во всех точках и при всех ориентациях приписывается одна и та же длина.

Замедление хода часов в гравитационном поле

Условие (4) можно также рассматривать как следствие того, что время в гравитационном поле течет по-разному в разных точках пространства. Для наблюдателя, находящегося на Земле, время течет медленнее, чем для наблюдателя, находящегося на вершине башни. Согласно полученному нами соотношению

Отсюда получаем

(6)

Но, согласно опытам по красному смещению,

(7)

Поэтому

(8)

Помня, что H = z₂–z₁, мы можем записать

(9)

или с той же точностью (поскольку gH/c²<< 1)

(10)

что эквивалентно

(11)

Эта константа в общей теории относительности называется промежутком мирового времени. Смысл мирового времени в постоянном гравитационном поле состоит в том, что его промежуток между двумя событиями в некоторой точке пространства совпадает с его промежутком между любыми другими двумя событиями в любой другой точке пространства, соответственно одновременными  ¹ с первой парой событий.

Если теперь мы введем в рассмотрение гравитационный потенциал по формуле

(так, чтобы g = –grad φ), то мы можем записать следующее соотношение для связи собственного времени с мировым

(13)

Таким образом, собственное время течет тем медленнее, чем меньше гравитационный потенциал в данной точке пространства. Иными словами, если из двух одинаковых часов одни находились некоторое время в гравитационном поле, то после этого часы бывшие в поле окажутся отставшими.

Эффект замедления времени в гравитационном поле можно еще пояснить на примере уже знакомой нам вращающейся системы отсчета. Представим себе пару синхронизированных часов, одни из которых покоятся в системе K, а другие, такой же конструкции, связаны с радиусом вращающегося диска, неподвижного относительно системы K'. При сравнении показаний часов, связанных с диском, и часов, покоящихся в системе K, окажется (в полном соответствие с результатами СТО), что часы диска идут медленнее, чем часы системы K, причем разность хода возрастает по мере удаления вращающихся часов от оси вращения (от центра). Только часы, расположенные в центре вращающегося диска, идут синхронно с часами системы K, поскольку эти часы имеют нулевую скорость относительно системы K. Таким образом, из нескольких часов, расположенных по радиусу диска в системе отсчета K', медленнее всего идут часы, которые больше всего удалены от центра диска. С точки зрения наблюдателя во вращающейся системе отсчета это естественно, так как там больше всего гравитационное поле. Этот пример приводит нас также к выводу о невозможности синхронизации часов во всем пространстве в инерциальной системе отсчета при наличии в ней гравитационного поля.

Частоту света в гравитационном поле тоже можно выразить через гравитационный потенциал

(14)

Напомним, что все эти формулы применимы к слабым гравитационным полям, для которых

(15)

Замедление времени в гравитационном поле было проверено группой американских физиков из Мэрилендского университета. Измерялась разность показаний атомных часов на самолете и в наземной лаборатории. Самолет курсировал на высоте 10 км с небольшой скоростью порядка 400 км/час, чтобы уменьшить кинематический эффект замедления времени. Время полета было около 14 часов. В соответствии с предсказаниями ОТО за счет разности гравитационных потенциалов самолетные часы должны были уйти вперед на ≈ 50 нсек. А в соответствии со СТО они должны были отстать на 5 нсек. Эксперимент показал, что часы на самолете ушли вперед на 45± 0,7 нсек.

¹ Синхронизацию часов в гравитационном поле в двух бесконечно близких точках пространства можно осуществить обычным образом путем обмена световыми сигналами.