Потерпев крах в применении евклидовой геометрии к неинерциальной системе отсчета, давайте задумаемся над вопросом, что такое геометрия вообще и для чего она нужна. Наиболее короткий и правильный ответ на этот вопрос:
геометрия нужна прежде всего для определения взаимного местоположения точек в пространстве. Правила, как это сделать в каждом конкретном случае, и составляют саму науку геометрию.
Здесь под пространством мы не обязательно имеем в виду наше трехмерное пространство. Это может быть двумерное или четырехмерное пространство (например, Минковского). Оказывается, что в любом пространстве размерности
Представим себе землемера, который должен обмерить холмистый участок земли, покрытый густым лесом, и затем сделать карту участка. Из каждой точки он может видеть лишь небольшую часть окружающей его местности. В распоряжении нашего землемера имеется только измерительная рулетка. Она позволяет измерять небольшие треугольники или четырехугольники, вершины которых можно отмечать колышками, вбитыми в почву; соединяя такие непосредственно измеримые фигуры друг с другом, землемер может постепенно продвигаться вперед к более удаленным участкам леса, которые сразу он рассмотреть не мог бы.
Говоря абстрактно, землемер может пользоваться методами обычной евклидовой геометрии в небольших областях. Но эти методы оказываются неприменимыми ко всему земельному участку как целому. Такой участок можно геометрически изучить лишь шаг за шагом, переходя от одного элемента к другому. Более того, евклидова геометрия в глобальном смысле, строго говоря, неприменима на холмистых участках: на такой поверхности не существует прямых линий вообще. Короткую ленту линейки можно считать прямой, но не существует прямой линии (лежащей на поверхности), соединяющей все точки поверхности от долины до долины или от холма до холма. Евклидова геометрия, таким образом, в определенном смысле верна лишь для малых, или инфинитезимальных областей, тогда как в более обширных областях действуют более общие представления о пространстве или, вернее, о поверхности.
Если землемер решил действовать систематически, он сначала покроет лесистую поверхность сетью линий, помечая их колышками или "привязывая" к определенным деревьям. Ему понадобится два пересекающихся семейства линий.
Рис. 4. Гауссова система координат. |
Линии будут выбраны по возможности гладкими и непрерывно искривленными, а в рамках каждого семейства будут последовательно перенумерованными. Возьмем
Каждую точку пересечения тогда будут характеризовать два числа
Задача определения единичной меры в этом исчислении точек на участке полностью ложится на землемера. Длина его рулетки определяет область, соответствующую одной ячейке в сетке гауссовых координат.
Теперь землемер может обмерять ячейку за ячейкой. Каждую из этих ячеек можно рассматривать как малый параллелограмм; 1 она полностью определена, как только две прилегающие стороны и угол между ними известны. Землемер должен обмерить каждую из этих ячеек и затем нанести ее на свою карту. Проделав эту процедуру для всей координатной сетки, он, очевидно, получит исчерпывающие сведения о геометрии участка на своей карте.
Вместо трех чисел для каждой ячейки (две стороны и угол) общепринято пользоваться другим способом определения мер, преимущество которого состоит в том, что он более симметричен.
Рассмотрим одну из ячеек — параллелограм, стороны которого соответствуют двум следующим друг за другом номерам (скажем
Рис. 5. Определение расстояния в пределах одной ячейки. |
Пусть
Точкам
Истинное расстояние
Найдем теперь расстояние
(16) |
где
(17) |
Коэффициенты пропорциональности
(18) |
Эту формулу можно назвать обобщенной теоремой Пифагора в гауссовых координатах.
Три величины
(19) |
Если эти функции известны, то с помощью формулы (18) можно вычислить истинное расстояние от начала координат до любой точки
Таким образом, метрические коэффициенты определяют всю геометрию поверхности. |
На кривой поверхности существуют не прямые линии, а наиболее прямые; они же образуют и кратчайшие соединения между парами точек. Их математическое название — геодезические линии. Например, на сферической поверхности — геодезическими являются окружности большого круга. Эти окружности вырезаются плоскостями, проходящими через центр сферы.
Рис. 6. Метрика на сфере. |
В качестве двух гауссовых координат на сфере можно взять два угла, полярный угол
(20) |
Это соответствует общей формуле (18) c метрическими коэффициентами
(21) |
Равенство нулю компоненты
Рис. 7. Тор. |
На других поверхностях кратчайшие линии нередко представляют собой весьма сложные кривые; тем не менее в рамках этой поверхности они оказываются простейшими кривыми и образуют каркас геометрии этой поверхности точно так же, как прямые линии образуют каркас евклидовой геометрии на плоскости.
Другое фундаментальное свойство поверхности — ее кривизна. Ее обычно определяют с помощью третьего пространственного измерения. Кривизна сферы, например, измеряется через ее радиус, именно как расстояние от точки на поверхности до центра сферы, который, разумеется, лежит вне самой сферической поверхности.
Землемер в лесистой области, конечно, не смог бы использовать это определение кривизны. Он не может перемещаться в точки, лежащие вне поверхности, поэтому должен попытаться определить кривизну с помощью только своей измерительной рулетки. Гаусс доказал, что это действительно возможно. Покажем здесь, как это делается на сфере.
Для этого возьмем три точки на поверхности сферы
Рис. 8. Сумма внутренних углов треугольника на сфере больше |
В результате получится треугольник, изображенный на рис. 8. Сумма углов этого треугольника оказывается больше, чем
(22) |
Полученная величина оказывается равной
В случае любой искривленной поверхности ее кривизну определяют аналогичным образом. В общем случае поверхность может быть искривлена по-разному в разных точках. Поэтому для определения кривизны в данном месте треугольники надо выбирать бесконечно малыми. Для сферы определенная таким образом кривизна оказалась положительной. Однако существуют поверхности с отрицательной кривизной. Примером такой поверхности является седлообразная поверхность; рис. 9.
Рис. 9. Седло — поверхность отрицательной кривизны. |
На такой седлообразной поверхности сумма углов треугольника меньше
(23) |
т.е. кривизна отрицательна. 3
Кстати, о кривизне поверхности можно судить и по отношению длины окружности к ее радиусу. На сфере это отношение меньше
В общем случае кривизна характеризуется тензором 4-ранга
В трехмерном пространстве кривизна в каждой точке характеризуется 3 величинами (6 независимых компонент тензора
Как можно измерить кривизну пространства-времени, обусловленную гравитационным полем Земли? Обсудим этот вопрос на примере траекторий мяча и пули, изображенных на рис. 10.
Рис. 10. Траектории мяча и поли в поле тяжести Земли. |
На первый взгляд кривизна обеих траекторий сильно различается. И это действительно так, если идет речь о кривизне траекторий в обычном пространстве. Однако в теории относительности речь идет о кривизне пространства-времени. Поэтому нам надо и изобразить эти траектории в пространстве-времени, см. рис. 11.
Рис. 11. Траектории мяча и пули в пространстве-времени. |
Согласно известным формулам, время полета связано с высотой подъема следующим образом:
(24) |
где
Эти расстояния намного превышают значение
(25) |
Очевидно, что вторым катетом в
Теперь вычисление радиуса кривизны можно произвести по формуле (см. рис. 12)
(26) |
справедливой для малых дуг окружностей (выведите эту формулу самостоятельно).
Рис. 12. Определение радиуса кривизны. |
Подставляя все величины, получаем для радиусов кривизны
(27) |
Таким образом, радиусы кривизны траекторий пули и мяча в пространстве-времени действительно равны и составляют огромную величину в 1 световой год (что в 70 тыс. раз больше расстояния от Земли до Солнца).
Нетрудно догадаться, откуда берется это число. На поверхности Земли гравитационные эффекты полностью определяются ускорением свободного падения
(28) |
Она как раз и равна 1 световому году.
1 Это связано с тем, что линии сетки, принадлежащие одному семейству, не пересекаются. Поэтому в пределе бесконечно малого расстояния между ними они должны быть параллельными.
2 В качестве упражнения найдите метрику тора; рис. 7
3 Покажите, что кривизна поверхности цилиндра равна нулю.