WIIKI.RU: Физика | Естественные и точные науки

Физика - это область естествознания, наука. Она изучает самые общие и фундаментальные закономерности, которые определяют структуру и эволюцию материальн... читать далее »

Статьи по Физике

17.10.2009 00:00

Геометрический характер ОТО.Движение частицы в гравитационном поле.. Физика.

Геометрический характер ОТО

В инерциальной системе отсчета в декартовой системе координат интервал ds определяется формулой

ds² = c²dt² – dx²–dy²–dz² .

(1)

При переходе к любой другой инерциальной системе отсчета интервал, как мы знаем, сохраняет тот же самый вид.

Однако, если мы перейдем к неинерциальной системе отсчета, то ds² уже не будет суммой и разностью квадратов дифференциалов четырех координат. Так, при переходе к равномерно вращающейся системе координат

x = x'cosΩ t – y'sinΩ t , y = x'sinΩ t + y'cosΩ t , z = z'

(2)

(Ω — угловая скорость вращения, направленная вдоль оси z) интервал приобретает вид:

$ds^2=\left[c^2-\Omega^2\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2} \right) \right]dt^2 - dx^{\prime 2} - dy^{\prime 2} - dz^{\prime 2} +$
+ 2Ω y'dx'dt – 2Ω x'dy'dt .			(3)

По какому бы закону ни преобразовывалось время, это выражение не может быть приведено к сумме квадратов дифференциалов четырех координат.

Таким образом, в неинерциальной системе отсчета квадрат интервала является некоторой квадратичной формой общего вида от дифференциалов координат, т.е. имеет вид

ds² = g_ikdxⁱdx^k ,

(4)

где тензор второго ранга g_ik, называемый, как мы знаем, метрическим тензором, есть некоторая функция пространственных координат x¹, x², x³ и временной координаты x⁰. Четырехмерная система координат x⁰, x¹, x², x³ является, таким образом, при пользовании неинерциальными системами отсчета криволинейной. Величины g_ik, определяя все свойства геометрии в каждой данной криволинейной системе координат, устанавливают, как говорят, метрику пространства-времени.

Величины g_ik можно, очевидно, всегда считать симметричными по индексам i и k

g_ik = g_ki ,

(5)

поскольку они определяются из симметричной квадратичной формы (4), куда g_ik и g_ki входят помноженными на одно и то же произведение dxⁱdx^k. В общем случае имеется, следовательно, всего 10 различных величин g_ik — четыре с одинаковыми и 6 с различными индексами. В инерциальной системе отсчета при пользовании декартовыми пространственными координатами x¹ = x, x² = y, x³ = z и временем x⁰ = ct величины g_ik равны

g₀₀ = 1, g₁₁ = g₂₂ = g₃₃ = –1 , g_ik = 0 при i≠ k .

(6)

Четырехмерную систему координат с этими значениями g_ik мы будем называть галилеевой.

Согласно принципу эквивалентности, неинерциальные системы отсчета эквивалентны некоторым силовым полям. Мы видим, что в релятивистской механике эти поля определяются величинами g_ik.

То же самое относится и к истинным гравитационным полям. Всякое гравитационное поле является не чем иным, как изменением метрики пространства-времени, соответственно чему оно определяется величинами g_ik. Это важнейшее обстоятельство означает, что геометрические свойства пространства-времени (его метрика) определяются физическими явлениями, а не являются неизменными, раз и навсегда заданными, свойствами пространства и времени.

Теория гравитационных полей, построеная на основе теории относительности, носит название общей теории относительности. Она была создана Эйнштейном (и окончательно сформулирована им в 1915 г.) и является, пожалуй, самой красивой из существующих физических теорий. Замечательно, что она была построена Эйнштейном чисто дедуктивным путем и лишь в дальнейшем была подтверждена астрономическими наблюдениями.

В слабом гравитационном поле с потенциалом φ<< c² метрика пространства-времени принимает вид

$ds^2=\left(1+\frac{2\varphi}{c^2} \right)c^2dt^2 - \left(1-\frac{2\varphi}{c^2} \right)(dx^2+dy^2+dz^2) .$

(7)

В ньютоновском приближении и нерелятивистком характере движения членом 2φ/c² во вторых круглых скобках в этом выражении можно пренебречь. Однако для света этого делать уже нельзя.

Движение частицы в гравитационном поле

Согласно общей теории относительности мировая линия частицы в гравитационном поле совпадает с геодезической, т.е. линией в 4-пространстве x⁰, x¹, x², x³, имеющей минимальную (или максимальную) "длину". Поскольку, однако, при наличии гравитационного поля пространство-время негалилеево, то эта линия не является прямой в евклидовом смысле, и реальное пространственное движение частицы — не равномерно и не прямолинейно. Таким образом, искривление пространственной траектории частицы в гравитационном поле в общей теории относительности является результатом действия не силы притяжения, как в теории Ньютона, а кривизны самого пространства-времени. Частица в этом кривом пространстве-времени локально всегда движется по наиболее короткому (с ее "точки зрения") пути (прямой в ее "понимании"), т.е. по геодезической. Длина мировой линии между двумя мировыми точками 1 и 2 определяется величиной интервала

$s=\int\limits_1^2 ds .$

(8)

В слабом гравитационном поле и скорости частицы v, малой по сравнению со скоростью света, бесконечно малый интервал определяется выражением (7), поэтому для конечного приращения имеем

$s = c\int\limits_{t_1}^{t_2}dt \sqrt{1+\frac{2\varphi}{c^2}-\frac{v^2}{c^2}} \approx c\int\limits_{t_1}^{t_2}dt \left(1+\frac{\varphi}{c^2} - \frac{v^2}{2c^2} \right).$

(9)

Экстремальность величины s означает, что частица движется по траектории, обеспечивающей экстремум интегралу

$\int\limits_{t_1}^{t_2}dt \left(\frac{v^2}{2} -\varphi \right) .$

(10)

Поскольку T = mv²/2 — это кинетическая энергия частицы, а U = mφ — потенциальная, то экстремальность величины (10) соответствует так называемому принципу наименьшего действия в классической механике, согласно которому траектория частицы находится из условия экстремума интеграла

$S=\int\limits_{t_1}^{t_2}dt (T-U) ,$

(11)

который называется в механике действием. Можно показать, что II закон Ньютона является следствием из этого общего принципа.

В отличие от материальных частиц, свет распространяется вдоль мировой линии, для которой интервал ds = 0.

Притча о яблоке

Рис. 1. Яблоко.

Однажды в саду под яблоней лежал студент и размышлял о том, как по-разному понимали гравитацию Ньютон и Эйнштейн. Неожиданно он вздрогнул: рядом упало яблоко. Студент взглянул на него и заметил муравьев, бегающих по его поверхности. Ему стало интересно: по какому принципу муравьи выбирают свой путь. Воспользовавшись увеличительным стеклом, он отметил тщательно путь одного муравья и, отступив от него в каждую сторону по милиметру, сделал ножом два параллельных надреза на яблочной кожуре. Затем он взял получившуюся дорожку из кожуры и разложил ее на своей книге. Теперь путь муравья на этой дорожке был прямым, словно луч лазера. Невозможно было отыскать более экономного пути для преодоления тех десяти сантиметров, которые разделяли начало и конец вырезанной полоски яблочной кожуры. Любой зигзаг или плавный поворот при движении муравья по яблочной кожуре между начальной и конечной точками увеличил бы длину его пути. "Какая прекрасная геодезическая", — отметил студент.

Его взгляд упал на двух муравьев, отправившихся из одной и той же точки ${\cal P}$ в направлениях, слегка отличающихся друг от друга. На этот раз их пути случайно пролегли вблизи углубления в верхней части яблока, там, где располагался черенок, причем по разные стороны от него. Каждый из муравьев добросовестно следовал вдоль своей геодезической. Каждый старался бежать по яблочной кожуре как можно прямее. Однако из-за собственной кривизны углубления их пути сначала пересеклись, а затем разошлись в совершенно разных направлениях.

"Можно ли придумать более удачную иллюстрацию для геометрической теории тяготения Эйнштейна? — задумчиво произнес студент. — Муравьи движутся так, будто их притягивает к яблочному черенку. Можно было бы поверить и в ньютоновскую силу, действующую на расстоянии. Но муравью нечем руководствоваться при выборе своего пути, кроме локальной геометрии поверхности, по которой он ползет. А это, безусловно, и есть концепция Эйнштейна, подразумевающая, что причиной всех физических явлений является локальное воздействие. И как она отличается от ньютоновского подхода в физике с его "дальнодействием"! Теперь я гораздо лучше понимаю, о чем говорится в этой книге".

Сказав так, он открыл свою книгу и прочел: "Не пытайтесь описывать движение по отношению к удаленным объектам. Физика проста только при локальном анализе. А локально мировая линия, вдоль которой движется спутник (в пространстве-времени, вокруг Земли), уже является прямой, насколько мировая линия вообще может быть прямой. Забудьте все эти разговоры об "отклонении" от прямолинейного движения и "силе тяготения". Я нахожусь в космическом корабле. Или плаваю в космосе около него. Разве я чувствую какую-либо "силу гравитации"? Ничего подобного. Чувствует ли эту силу корабль? Нет. Тогда зачем говорить о ней? Считайте, что и корабль, и я пересекаем область пространства-времени, в которой не действуют никакие силы. Считайте, что движение в этой области уже является идеально прямым".

Послышался сигнал к обеду, но студент все еще сидел, рассуждая про себя. "Мне кажется, что суть эйнштейновской геометрической теории тяготения можно кратко выразить в виде трех положений:

локально геодезические кажутся прямыми;
в более обширных областях пространства-времени те геодезические, которые сначала расходятся, начинают впоследствии сближаться со скоростью, определяемой кривизной пространства-времени, и это влияние геометрии на материю и есть то, что мы сегодня подразумеваем под старым словом "тяготение";
материя, в свою очередь, деформирует геометрию.

Углубление на поверхности яблока возникает потому, что там есть черенок. Я думаю, что все это можно выразить еще более кратко: Пространство воздействует на материю, "указывая" ей, как двигаться. Материя в свою очередь оказывает обратное действие на пространство, "указывая" ему, как искривляться. Другими словами, наличие материи в данном месте, — сказал он, вставая и поднимая за черенок яблоко, — приводит к кривизне пространства в этом месте. Чтобы искривить пространство в данном месте, его необходимо искривить и в соседних областях, — продолжал он, наблюдая за замешкавшимся муравьем, деловито следующим вдоль своей геодезической на расстоянии толщины пальца от черенка. — Так материя в данном месте оказывает влияние на материю в другом месте. Это и есть объяснение "гравитации", данное Эйнштейном".

Обеденный сигнал затих, и он ушел, унеся с собой книгу, увеличительное стекло — и яблоко.