Парадокс близнецов в общей теории относительности

С точки зрения общей теории относительности можно дать исчерпывающее объяснение так называемому парадоксу близнецов, который был нами рассмотрен на одной из предыдущих лекций в рамках специальной теории относительности.

Итак, рассмотрим снова двух близнецов A и B, из которых A покоится в некоторой инерциальной системе отсчета, а второй — B — отправляется в космическое путешествие со скоростью v. Если t₀ — это время, которое прошло в системе отсчета наблюдателя A с начала путешествия B к моменту его возвращения, то часы B по возвращении покажут время

(12)

Таким образом, при малых скоростях v/c<< 1, часы A уходят вперед по сравнению с часами B на величину

(13)

Но можно считать покоящимся и наблюдателя B. Тогда наблюдатель A проделывает путешествие в обратном направлении. Однако система отсчета B не является инерциальной. Она подвергается ускорению в момент отправления наблюдателя A, его поворота и в момент его возвращения. Согласно принципу эквивалентности, мы можем сказать, что в системе отсчета B в пространстве возникают гравитационные поля. Однако из этих трех гравитационных полей первое и последнее не влияют на относительные скорости хода часов наблюдателей A и B, поскольку эти поля возникают в одной и той же точке пространства в моменты отправления и прибытия. Согласно полученным нами формулам, разность хода часов в гравитационном поле возникает лишь тогда, когда часы разделены некоторым расстоянием l. Вспомните, если на земле проходит время t, то на высоте h (там часы идут быстрее) проходит время на величину ght/c² больше.

Это значит, что если Δ t — время, затраченное на поворот, в течение которого возникает гравитационное поле в системе отсчета наблюдателя B, то часы наблюдателя A, удаленные на расстояние l и находящиеся в гравитационном поле, создающем ускорение a, уйдут вперед на величину

(14)

В течение же тех интервалов времени, когда наблюдатель A движется равномерно, к нему можно применять специальный принцип относительности. Согласно нему за время t₀ (мы считаем t₀>>Δ t) часы наблюдателя A должны, наоборот, отстать от часов B на величину

(15)

В результате часы A уйдут вперед лишь на величину

(16)

к моменту его "возвращения".

Можно показать, что эта величина равна в точности

(17)

так что никакого парадокса нет. Действительно, в результате поворота наблюдатель B меняет свою скорость с v на –v, т.е. полное изменение скорости равно 2v. Разделив это изменение скорости на время ускорения Δ t, мы получаем величину a:

(18)

С другой стороны, в момент поворота половина времени путешествия уже прошла. Расстояние между наблюдателями тогда равно:

(19)

Отсюда следует, что

(20)

и

(21)

что и требовалось доказать.

Экспериментальная проверка общей теории относительности

В настоящее время имеются следующие эксперименты, подтверждающие общую теорию относительности Эйнштейна.

• Отклонение луча света и электромагнитных волн гравитационным полем Солнца (1.75^'').
• Гравитационное красное смещение.
• Смещение перигелия Меркурия (43^'' в столетие).
• Временная задержка радиолокационных сигналов.

Разберем ниже последний эффект.

Временная задержка радиолокационных сигналов

Общая теория относительности предсказывает еще один эффект, связанный с воздействием гравитации на свет - запаздывание электромагнитного импульса в сильном гравитационном поле. Связано это запаздывание со следующим обстоятельством. Отклонение света гравитационным полем Солнца можно рассматривать как следствие того, что скорость света в гравитационном поле уже не является постоянной, а уменьшается с ростом поля. Иными словами, гравитационное поле создает что-то вроде дополнительного показателя преломления для электромагнитных волн, т.е. оно, как говорят оптики, является оптически более плотной средой. Тогда, так же как и в оптике неоднородных сред, луч света будет отклоняться в сторону, соответствующую большему показателю преломления, т.е. меньшей скорости распространения (вспомните явление преломления света на границе двух сред).

Этот эффект запаздывания, родственный явлению отклонения световых лучей, был сравнительно недавно подтвержден в экспериментах, проводившихся у нас "дома" — т.е. в пределах Солнечной системы. О величине эффекта можно судить по следующему примеру. Согласно теории, задержка импульса электромагнитного излучения, направленного с Марса на Землю в момент их "соединения" (т.е. когда Марс и Земля находятся примерно на одной прямой с Солнцем по разные стороны от него) составляет 2· 10^–4  сек. Такая задержка соответствует эффективному удлиннению пути на 60 км. В то же время погрешность измерения расстояний между земными антеннами и антеннами на спутниках составляет около 1 м. Поэтому эффект запаздывания можно измерить с достаточно высокой точностью.

Реальный эксперимент проводился по такой схеме. Мощный импульс СВЧ излучения направлялся с помощью наземной антенны радиотелескопа в сторону искуственного спутника, вращающегося вокруг Марса. Ретранслятор, установленный на спутнике, усиливал дошедший до него сигнал и "отсылал" его обратно в сторону радиотелескопа. Чувствительная аппаратура, связанная с радиотелескопом, дает возможность измерить время распространения сигнала до спутника и обратно с точностью, позволяющей обнаружить эффект задержки. Наибольшей точности удалось достичь в рамках программы "Викинг". В серии измерений, проведенных в 1979 г., предсказание ОТО было подтверждено с точностью 0.2%.